수학책을 탈출한 미적분

미적분은 결코 난해한 것이 아니다.
일상생활 속으로 걸어나온 미적분의 본질을 통해
 미적분의 공포감을 떨쳐 보자.

흔히들 수학 중에서 제일 어려운 단원이 미적분이라고 막연히 생각할 때가 많다. 사실 미분과 적분은 굉장히 어렵고도 힘든 분야 중 하나인 것은 사실이다. 특히 미적분은 공식으로 이루어졌기 때문에 그것을 응용하는 것 자체만도 고도의 수학적인 능력이 있는 사람들만 가능하다고 생각한다. 그러나 수학의 즐거움이란 단순히 공식을 암기하는 데 있는 게 아니다. 실제 원리를 알고 적용하는 데 있다.
간단히 정리해 보자. ‘미분’이란 움직이고 변하는 대상의 순간적인 변화의 정도를, ‘적분’은 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 것을 말한다. 따라서 이들 미분과 적분을 응용한 것들은 우리 실생활에 생각 외로 많이 존재한다. 한 예를 들어 보자.
미분은 ‘순간적인 변화’를 설명하는 것이므로 달리고 있는 사람이나 차량의 속력 변화, 따뜻한 캔커피가 식어 갈 때의 온도 변화, 지구 주변을 도는 행성의 움직임 등과 같이 계속해서 변화하는 현상을 표현할 수 있다. 과속 카메라도 미분의 원리를 적용한 사례이다.
적분은 직선이 아닌 ‘곡선이나 곡면으로 이루어진 대상들의 길이와 넓이, 부피’를 간편하게 구할 수 있는 방법이다. 병원에서 환자들이 많이 이용하는 컴퓨터 단층 촬영 장치인 CT는 몸속 장기의 단면을 무수히 잘게 나누어 계속 찍고 그 사진들을 종합하여 장기의 전체적인 모양을 알아내는 방법인데 여기에 적분의 원리가 적용되어 있다.
결국 미적분은 일상에서 일어나는 모든 것들과 관련이 되어 있다는 것을 알 수 있다. 막연하게만 알고 있던 미적분의 개념이 실생활 속에 이런 식으로 녹아들어 있다는 것에 새삼 놀라움을 느끼겠지만, 그동안 누구나 알고 있는 사실을 깊이 있게 탐색해 보지 않았기에 그러한 사실을 간과하고 넘어간 것이다.
이 책은 미적분의 기초가 담긴 책이다. 중학교 정도의 수학을 배운 사람이라면 누구라도 어려움 없이 이 책의 내용을 이해할 수 있을 것이다. 학교에서 배울 수 없는 미적분의 원리를 알기 쉽게 접할 수 있는 좋은 기회도 아울러 마련할 수 있다. 정규적으로 미적분을 배우지 못했거나 너무 오랜 시간이 흘러 개념조차도 다 잊어버린 사람들에게도 좋은 길잡이가 될 수 있을 것이다.
미적분, 이제는 공포의 대상이 아니다. 이 책을 읽은 사람이라면 어쩌면 누구보다 자신 있게 미적분의 개념을 제대로 이해함으로써 미적분에 대한 자신감과 흥미를 갖게 될 것이다.
한편, 이 책에서는 덤으로 집합, 대칭 관계, 수열과 극한, 가속도, 마방진, 함수, 직선, 수직선, 기울기, 수의 범위, 도형(원, 타원, 직각삼각형, 평행사변형, 사다리꼴, 구)와 같은 내용이 양념으로 첨가되어 있고, 때로는 수학자들의 흥미로운 역사도 곁들이고, 때로는 이야기글도 덧붙이며 수학의 재미를 돋우는 장치들이 곳곳에 포진되어 있다.

생활 속에 녹아든 미적분의 원리를 깨닫는 상황

1. 복사집에서
 방대한 양의 책을 축소 복사할 때 복사용지가 얼마만큼 필요할까? 지불해야 할 비용과 축소 복사할 쪽수, 축소 비율의 대응 관계는 어떻게 구할 수 있을까?

2. 고속 철도 안에서
 열차의 속도는 얼마나 될까? 열차의 운행 노선은 어떻게 정해질까? 열차 시간표를 어떻게 하면 수학적으로 표현할 수 있을까?

3. 주방에서
 만두를 빚기 위해 밀가루로 반죽을 만들 때 밀가루와 물을 얼마의 비율로 넣어야 할까? 만두피의 넓이에 따라 필요한 만두소는 얼마일까?

4. 주식 시장에서
 어떤 주식의 가치가 올라갈지 떨어질지 어떻게 예측할 수 있을까? 주식 시장을 분석하려면 어떻게 해야 할까? 반등폭과 상승폭이 있는 주식은 어떨 때 사야 할까?

5. 교량 공사장에서
 오픈식 아치형 돌다리는 어떻게 설계할까? 일정한 유속을 지닌 강물이 하루에 돌다리를 흘러가는 양은 얼마나 될까?

6. 스스로 옷을 만드는 나
 만약 옷 한 벌을 직접 만들어 입는다면 천이 얼마나 필요할까?

7. 어항을 고를 때
 어항의 수압은 어떻게 계산할까? 어떤 어항이 물고기에게 좋은 것일까?

8. 음주와의 관계
 술을 마셨을 때 알코올이 체내에 어떻게 분포될까?

수학에 대한 단상

 수학이라는 과목은 여타 과목과는 확실히 다르다. 말로 풀어서 설명해 주기보다는 기호로 압축해 버린다. 주먹구구로 셈을 할 수 있는 수들을 넘어서면 음수, 분수, 그리고 소수가 등장하고 덧셈, 뺄셈만 배우다가 어느날 곱셈, 나눗셈이 동시에 등장한다. 이게 수학인가? 과연 이것이 실생활에 얼마나 도움이 될까 의심해 본 적이 많을 것이다. 그러나 수학은 실용적인 학문이다. 단순한 계산을 넘어 물건을 나누고 이자를 계산하는 일부터 지구의 크기를 구하는 문제까지 일상생활과 밀착되어 있는 것이 수학이다.
사실 수학은 인간이 생각을 하게 된 때부터 등장했고, 문명이 발달한 곳에서는 어김없이 수학이 자리를 잡고 문명의 기틀이 되어 주었다. 결국, 수학은 필요에 의해 탄생한 학문이라 할 수 있으며, 수천 년에 걸친 인간 지성의 정수가 담겨 있다. 수학은 인간으로 하여금 계속 생각을 하게 한다. 여기에서의 생각은 사유라고 보면 된다. 고대의 철학자들이 대부분 수학자였다는 것은 이와도 관계있을 것이다.
사실 수학은 생각하는 학문이다. 논리적으로 대입하고 적용하면 하나도 어려울 것이 없다. 수학을 공부하는 것이 대학 진학을 위해서가 아니라 수학에서 배운 것을 실생활에서 활용하고 우리 삶을 윤택하고 풍요롭게 해 주는 도구라고 생각한다면 수학에 더 쉽게 접근할 수 있는 길을 열어 줄 수 있게 될 것이다. 직업을 선택할 때에도 수학은 중요하다. 어느 직종이든 논리적인 사고력과 의사 결정, 문제 해결 능력 등 수학적인 능력이 없이는 제대로 과제를 수행하기 힘들기 때문이다. 이는 수학이 문제를 풀어 가는 과정이라는 것을 의미한다. 우리 삶도 어떻게 보면 수학의 어려운 문제처럼 얽혀 있는 여러 가지 난제를 풀어 가는 과정일지도 모른다. 수학을 즐겨 보자. 그러면 인생을 즐기게 될 것이다.

지은이 : 류치
그래픽 디자이너이자 해커이며 수학의 달인. 2004년 프로그래머로 데뷔한 이후 Rust프로그래밍 언어와 Servo의 중국 현지 인터페이스 제공을 필두로 『Rust프로그래밍언어』를 비롯한 여러 편의 외국 학술 논문 번역을 이끄는 등 다방면에서 활약하고 있다. 또한 『타원 면적 공식 도출방법 비교』, 『인육(人肉)의 오일러에 대한 도전계획』, 『먹는 것 그 밖의 세계: 씹고 삼키기의 수학』 등 자신의 경험과 수학을 접목한 서적들을 집필해 큰 인기를 끌었다. 현재 개인 계정에 『모모지지의 C언어: C언어 입문부터 통달까지』를 연재하고 있다.

옮긴이 : 이지수
중앙대학교 국제대학원 한중 전문통번역학과를 졸업하고 전 현대자동차 통번역사로 근무했었다. 현재는 번역 에이전시 엔터스코리아에서 출판기획 및 중국어 전문 번역가로 활동하고 있다. 옮긴 책으로는 『한 그릇에 담는 중국 가정식』, 『1, 2, 3, 4 영어회화』, 『그때 당신이 거기에 있었다』, 『달과 소년』, 『내 안의 나와 나누는 대화』, 『떠나기 전에 나를 깨워줘』, 『엄마, 내 마음속을 봐주세요』, 『나만의 무기』, 『끊을 수 없는 달콤함』, 『인생의 6년은 아빠로 살아라』, 『마법의 수학암호를 풀어라』, 『사랑 우리가 놓친 것은』 등 다수가 있다.

추천의 글 1 • 005 / 추천의 글 2 • 008 / 서문 • 011

제 I 장 축소 복사로 얻는 이득
 축소 복사에 필요한 복사용지의 수량 • 017 / 다변수함수에 능통한 복사집 사장님 • 025 / 문구점과 집합론 • 027 / 볼펜은 필기구일까 플라스틱 제품일까 • 032

제 II 장 명절날 고속 열차를 타고
 열차 운송에 숨겨진 수학 • 041 / 고속 열차에서 발견한 대칭 • 049 / 핵심적 역할을 하는 두 가지 극한 1 • 052 / 무한소의 비교 • 056 / 핵심적 역할을 하는 두 가지 극한 2 • 058 / 극한이 왜 중요한가 • 061 / 심화 문제 • 061

제 III 장 만두용 밀가루 반죽의 적당한 크기
 수학 모형 • 067 / 수학적 직관과 운 • 070 / 밀가루 반죽의 모형 • 072 / 도함수 공식 • 074 / 도함수 공식의 유도 과정 • 076 / 도함수의 계산 법칙 • 078 / 합성함수의 미분 • 079 / 역함수와 역함수의 미분 • 080 / 중국어 방과 블랙박스 모형 • 082 / 심화 문제 • 084

제 IV 장 구슬아 굴러 굴러
 도함수의 존재 법칙 • 087 / 롤의 정리 • 090 / 라그랑주의 평균값 정리 • 091 / 갈릴레오의 고뇌 • 093 / 테일러 전개식 • 094 / 심화 문제 • 099

제 V 장 나는 주식왕
 주식 시장의 기복 • 107 / 곡선 맞춤 • 107 / 함수를 논하다 • 108 / 일반적인 직선과 수직선 • 110 / 원 • 111 / 원에서 타원까지 • 113 / 3차 스플라인(다항식 곡선) • 116 / 함수의 단조성과 변곡점 • 118 / 극값 • 120 / 더 좋은 주식: 볼록성 • 122 / 심화 문제 • 126

제 VI 장 우리 마을에 아치형 다리를 세우자
 자오저우교(趙州橋) • 131 / 또 다른 곡선 맞춤 • 131 / 기본 적분표 • 134 / 모듈화 사고와 부정적분 정의의 확장 • 135 /
적분 공식의 증명 • 137 / 적분표의 확장 • 139 / 심화 문제 • 140

제 VII 장 옷 한 벌에 들어가는 천
 옷 DIY의 유행 • 155 / 부정적분을 다시 살펴보다 • 155 / 상수 C의 표시 여부 • 158 / 부정적분에서 정적분까지 • 159 /
덧셈의 방향 • 163 / 기존의 넓이 공식 • 165 / 높은 차원에서의 넓이 공식 • 166 / 원과 타원 • 167 / 신기한 직각삼각형 • 171 / 본질이 변하지 않는 평행사변형 • 175 / 곡선사다리꼴의 넓이 구하기 • 180 / 심화 문제 • 183

제 VIII 장 만두소가 많이 든 만두가 맛있다
 많이 빚을까 적게 빚을까 • 185 / 원의 넓이에서 원의 둘레까지 • 185 / 호의 길이 공식 • 187 / 호의 길이 공식의 검증 • 189 / 겉넓이 구하기 • 191 / 부피 구하기 • 192 / 겉넓이를 다시 논하다 • 193 / 자주 저지르는 계산상의 오류 • 194 / 중적분 탐색 • 194 / 만두소가 모자라면 어떻게 할까? • 195 / 심화 문제 • 197

제 IX 장 어항 고르기
 물고기 키우기 • 199 / 수압의 계산 • 199 / 수학과 물리 • 201 / 변화하는 힘에 대한 작용 • 203 / 심화 문제 • 203

제 X 장 음주 운전은 안 돼요
 알코올 중독 • 205 / 케플러와 미분방정식 • 205 / 미분방정식 탐색 • 206 / 동차방정식 • 208 / 1차 선형방정식 • 210 / 미분방정식 모형 • 211 / 심화 문제 • 213

 [부록1] 이 책에 사용된 부호 체계 • 216 / [부록2] 공식 및 증명 • 217 / [부록3] 적분표 • 231 / [부록4] 다변수함수의 미적분 • 250 / [부록5] 심화 문제 답변 예시 • 252