작은 수학자의 생각실험 2

▣ 출판사서평

생각하는 수학은 힘이 세다!
<작은 수학자의 생각실험> 2편 출간!

‘달이 떨어지면 얼마 후에 지구와 충돌할까?’라는 엉뚱한 질문을 풀기 위한 대여정, 『작은 수학자의 생각실험 1』을 펴낸 저자 고의관이 새로운 수학 문제를 들고 독자들을 찾았다. 이번에는 일명 ‘행운의 카드’ 경
우의 수를 구하는 문제다. 1권에서처럼 역시나 수학 문제 하나를 푸는 데 책 한 권의 분량이 들어가는데……. 과연 이 책의 주인공인 작은 수학자들은 어떤 생각의 여정을 거쳐 문제를 해결해나갈까?
공식암기나 유형별 문제풀이에 지친 이들에게 ‘생각하는 수학’의 힘을 전하고 있는 <작은 수학자의 생각실험> 시리즈. 1권은 ‘달과 지구의 충돌시간 문제’를 차근차근 풀며 미분과 적분의 원리를 자연스레 깨치는 과정을 담아 출간 즉시 독자들의 호응을 얻었으며, 2015년 세종도서 교양부문에 선정되기도 했다.
이번에 출간된 2편은 수열과 조합 단원을 다루고 있으며, 흔한 수학 참고서처럼 개념과 문제풀이를 단순하게 나열하는 형식과는 전혀 거리가 멀다. 이 책은 두 주인공이 듣도 보도 못한 ‘행운의 카드 문제’를 풀어나가며 수열과 조합 개념을 스스로 터득하는 과정을 이야기 형식으로 전달하고 있다.


공식 암기는 잘하는데 수학 성적이 시원치 않은 ‘지민’
수학 감각은 남다른데 수학 지식이 턱없이 부족한 ‘종관’
극과 극의 두 주인공이 수학 문제를 함께 풀어나간다면?

<작은 수학자의 생각실험> 1권이 델타라는 한 학생의 머릿속으로 들어가 그가 펼치는 꼬리에 꼬리를 무는 사고실험을 담았다면, 2권에서는 수학을 접근하는 방법과 태도가 상이한 두 주인공이 서로 협력해 문제를 풀어나가며 성장하는 과정을 담고 있다.

“순열의 수를 구하는 공식은 nPr=n!/(n-r)!이야.”
“그 공식이 어떻게 나온 건데?”
“글쎄, 그건 생각해본 적이 없는데…….”

주인공은 지민과 종관. 지민은 교과과정에서 수학 과목이 차지하는 중요성을 알기에 학교 공부와 학원 수업을 충실히 따라가는 인물이다. 그러나 여느 학생들처럼 무미건조하게 공식 암기와 유형별 문제풀이를 반복해서 수학 성적은 시원치 않다.
반면 종관은 시각화, 도식화를 이용해 문제를 접근하는 수학 감각은 탁월하지만 수학 지식은 턱없이 부족한 유형이다. 이 상반된 캐릭터의 두 주인공은 과연 어떤 시행착오를 거쳐 ‘행운의 카드 문제’를 해결해나갈까? 책을 읽는 독자들은 두 주인공 중 어느 유형에 가까운지 스스로를 돌아보며 자신의 수학 공부법의 문제와 단점을 점검해나가는 기회가 될 것이다.


우리가 몰랐던 수열과 조합의 놀라운 세계!
수열부터 이항정리까지, 수학의 여러 영역을 통합적으로 이해한다!

이 책에서 다루는 ‘행운의 카드 문제’는 고교 수준의 수학지식만으로 해결 가능한 문제다. 그럼에도 이 문제가 쉽게 풀리지 않는 까닭은 한 가지 수학 개념만으로 해법을 찾을 수 없기 때문이다. ‘행운의 카드 문제’에는 다항식(수학 I), 수열(수학 II), 순열과 조합, 이항정리(확률과 통계), 수열의 극한(미적분 I) 등 고등학교 수학의 여러 영역과 개념이 총집합되어 있어, 단순히 공식을 외우며 기계적으로 수학을 공부하는 이들에게는 해결의 실마리가 쉽게 열리지 않을 수 있다.
이 책은 단순한 조합 개념이 수열, 이항정리, 미적분에 이르기까지 여러 영역과 연계되는 지점, 조합 개념이 다른 영역으로 그 사고가 확장되는 과정을 세심히 다루고 있다. 서로 개별 영역이라 생각했던 수열, 조합, 이항정리 등을 통합적으로 이해할 수 있는 새로운 눈을 제시하는 책이다. 또한 책 전체를 관통하는 ‘행운의 카드 문제’ 말고도 각 장에 연습문제를 수록해 다양한 문제를 접할 수 있도록 했다.

* 이 책에서 다루는 고등학교 수학 교과과정 :
[수학 I] 다항식, [수학 II] 수열, [확률과 통계] 순열과 조합, [미적분 I] 수열의 극한


“수학 문제 하나 푸는 데 몇 시간, 아니 며칠 걸린다고 무슨 문제 있나요?”
100문제를 푸는 것보다 문제 하나를 제대로 풀어라!

이 책에서 수학 문제를 풀려고 분투하는 주인공은 저자 자신의 모습이기도 하다. 저자, 이학박사 고의관은 고교 시절부터 수학의 매력에 빠져 별별 재미난 수학 문제를 찾아 푸는 게 취미다. 해법의 문이 쉽게 열리지 않는 문제일수록, 몇 날 며칠을 매달려야 풀리는 문제일수록 도전하는 쾌감이 있었다.
이 책의 두 주인공 역시 ‘행운의 카드 문제’를 처음 받아든 지 3개월 만에 제대로 된 해법을 찾는다. 수많은 고민과 생각, 실수와 시행착오를 거친 끝에 답을 이끌어낸 것이다. 정답을 맞히는 기술만 늘려서는 수학적 사고력과 문제해결능력을 키우기 어렵다. 저자는 100문제를 푸는 것보다 시간이 오래 걸리더라도 문제 하나를 자기 힘으로 풀어야 수학을 잘하는 생각의 근육이 커진다고 이야기한다.

“문제를 많이 푸는 게 수학 공부의 왕도라고 많이들 이야기하는데 그건 틀린 생각이야. 수학 점수가 잘 나오는 학생 중에서 수많은 문제를 풀어서 문제의 각종 유형을 암기하다시피 한 경우가 있다가 하자. 이런 학생들은 자신이 배운 유형에서 조금이라도 벗어난 문제가 나오면 전혀 손을 못 대.
하나의 문제를 푸는 데 시간은 중요하지 않아. 자신이 얼마나 많은 생각과 도전을 했느냐가 중요한 것이지. 그리고 그렇게 투자한 시간은 결코 헛되지 않아. 백 문제 푼 학생보다 한 문제를 풀더라도 너희들이 했던 것과 비슷한 과정을 거친 학생이 훨씬 수학실력이 좋아. 수학 잘하는 사람들의 하나같은 공통점이 상당한 시간을 들여 문제 하나를 푼다는 거야.”
-본문 중에서


정답으로 가는 길이 하나는 아니다!
수학은 누구에게나 열려 있는 자유로운 학문이다!

이 책에는 지민과 종관에게 수학적 영감을 주는 캐릭터인 박사도 등장한다. 그는 두 학생에게 해결책을 주기보다는 문제를 제시하여 학생 스스로 해결책을 찾아가도록 유도하는 길잡이 역할을 하고 있다. 박사는 종관과 지민에게 답이 무엇이냐고 묻지 않는다. 어떤 생각과 고민을 거쳐 답을 유도했는지, 그 과정을 물을 뿐이다. 저자의 수학 공부법, 교육법을 알 수 있는 대목이다.
수학자 칸토어가 “수학의 본질은 자유로움에 있다”고 했듯이 저자 역시 수학은 누구에게나 열려 있는 자유로운 학문이라고 믿는다. 그런 이유에서 그는 이 책에서 제시한 해법 말고도 독자들 각자 자신만의 해법을 찾아나서기를 바라고 있다. 정답으로 가는 길은 하나가 아니기 때문이다.

▣ 작가 소개

고의관
서울대학교 물리학과에서 이학석사, 고려대학교에서 이학박사 학위를 받았다. 현재 미래창조과학부 산하 한국기초과학지원연구원에서 책임연구원으로 일하고 있다. 물리학을 전공했지만, 고교 시절부터 수학의 매력에 빠져 별별 재미난 수학 문제를 찾아 푸는 게 취미다. 해법의 문이 쉽게 열리는 않는 문제일수록, 몇 날 며칠을 매달려야 풀리는 문제일수록 도전하는 쾌감이 있었다.
자신의 경험을 살려 단순공식암기에서 벗어나 스스로 깊이 사고하고 문제를 해결해가는 <작은 수학자의 생각실험> 시리즈를 펴내고 있다. ‘생각하는 수학은 힘이 세다!’라는 모토 아래, 수학 문제 하나를 풀기 위한 꼬리에 꼬리를 무는 사고실험을 담은 책들이다. 그 첫 번째 권으로 『작은 수학자의 생각실험 1: 외우지 않고 이해하는 미분·적분의 기본 원리』(2015 세종도서 교양부문 선정도서), 두 번째 권으로 『작은 수학자의 생각실험 2: 우리가 몰랐던 수열과 조합의 놀라운 세계』가 출간되어 있다.

▣ 주요 목차

저자의 말 5

1장 로또의 수학 12
1. 조합의 의미
2. 확률과 여사건
3. 순열과 조합의 계산
4. 수열의 정의
5. 기호 ∑의 의미
6. 수학적 귀납법
7. 행운의 카드 문제
수학상식 코너 : 몬티 홀 문제
연습문제

2장. 수열을 찾아라! 68
1. 수형도
2. 중복순열
3. 전단사 의미의 활용
4. 문제의 단순화
5. 계차수열
6. 텔레스코핑 방법
수학상식 코너 : 게임 속에 깃든 피보나치 수열
연습문제

3장. 놀라운 이항정리의 세계 112
1. 이항전개
2. 수학에서 일반화란?
3. 이항정리의 파생공식
4. 이항정리와 조합의 관계
5. 「 ?」 원리의 증명
수학상식 코너 : 베르누이 수
연습문제

4장. 중복조합의 새로운 이해 146
1. 실망과 희망의 교차
2. 비밀의 문, 생성함수
3. 중복조합
4. 이항정리와 중복조합의 관계
5. 중복조합의 예
6. 포함배제의 원리
수학상식 코너 : 조화급수
연습문제

5장. 지식을 꿰어 지혜로 196
1. 등비수열
2. 또 다른 힌트
3. 지식이 지혜로 영글다
4. 행운의 카드 계산의 일반화
5. 생각하는 수학
수학상식 코너 : 점화식과 생성함수
연습문제

연습문제 정답과 풀이 230
찾아보기 251