작은 수학자의 생각실험 3

생각하는 수학은 힘이 세다!
 <작은 수학자의 생각실험> 3권 정수와 소수 편 출간!

‘달이 떨어지면 얼마 후에 지구와 충돌할까?’라는 엉뚱한 질문을 풀어나가며 미분과 적분의 원리를 깨쳐나간 『작은 수학자의 생각실험 1』(2015 세종도서 선정도서), 듣도 보도 못한 ‘행운의 카드’ 문제를 통해 수열과 조합 개념을 터득해나간 『작은 수학자의 생각실험 2』(2017 한국과학창의재단 선정 우수과학도서)를 펴낸 고의관 저자가 새로운 수학 문제를 들고 독자들을 찾아왔다.

‘생각하는 수학은 힘이 세다’라는 모토 아래, 수학 문제 하나를 풀기 위한 꼬리에 꼬리를 무는 사고실험을 보여주고 있는 <작은 수학자의 생각실험> 시리즈 3권. 『작은 수학자의 생각실험 3』은 알 수 없는 비밀문서를 발견한 주인공들이 암호문 해독을 위해 정수와 소수의 신비한 성질을 익혀나가는 과정을 흥미롭게 담고 있다. 정수론은 수학자 가우스가 ‘수학의 여왕’이라 일컬었을 만큼 수학의 중요한 토대를 이루고 있는 분야다. 특히 이번 책은 오늘날 정보화 시대에 대표적인 암호화 알고리즘인 RSA 암호를 수학의 원리로 이해하는 여정이라 할 수 있다. 배수와 약수부터 오일러 함수까지, 고대 로마의 시저 암호부터 최근의 RSA 암호까지, 수학과 암호학이 만나는 특별한 생각실험 속으로 들어가보자!

“비밀문서 해독하고 보물 찾으러 가자!”
배수와 약수부터 RSA 암호까지,
꼬리에 꼬리를 무는 수학 질문들이 쏟아진다!

알 수 없는 문자와 숫자들로 조합된 비밀문서를 발견한 진호, 진희 남매. 도대체 어떻게 해독한담? 암호풀이 해독에는 길이 잘 안 보이건만, 이들 앞에 정수와 소수의 신비한 성질이 조금씩 모습을 드러내고, 수학 질문들이 꼬리에 꼬리를 물고 생겨난다.

2311은 소수일까, 아닐까? 10000까지 수 중에는 소수가 몇 개 있을까? 5의 100승을 7로 나눈 나머지는? 4의 1000승을 11로 나눈 나머지를 구하라고? 어떻게? 36372와 7959, 두 수의 최대공약수는? 1부터 900까지의 정수 중 900과 서로소인 수는 몇 개일까? …… 그런데 이 모든 질문이 비밀문서를 푸는 중요한 열쇠가 된다고? 『작은 수학자의 생각실험 3』은 비밀문서 암호 해독과 함께 정수·소수의 수수께끼 같은 성질을 만나는 ‘암호풀이 삼총사’의 생각 여정을 담고 있다.

‘정수’는 양의 정수(+1, +2, +3, …), 0, 음의 정수(-1, -2, -3, …)를 통틀어 부르는 말이다. 마치 1, 2, 3, … 수 세기처럼 쉬워 보이지만 수학의 기본기부터 실력 갖추기까지 좌우하는 아주 중요한 수학 영역에 해당한다. 그래서 이 책은 초등 과정에서 배우는 배수와 약수 같은 기초 개념에서 시작해 중등 과정의 소인수분해, 문자와 식, 그리고 유클리드 호제법, 페르마의 소정리, 오일러 피 함수 등과 같은 상위 개념으로까지 생각이 서서히 진화해가는 과정을 마치 수학자의 머릿속을 들여다보듯 생생하게 그리고 있다. ‘암호풀이 삼총사’의 생각 여정을 따라가다 보면, 이전에는 외계어로 보였던 유명한 수학자의 정리가 왜 만들어졌는지, 어떻게 활용되는지 종합적으로 이해하는 경험을 하게 될 것이다.

“초등 고학년 수준 정도만 되어도 35를 소인수분해하라고 하면 5와 7의 곱이란 점은 아주 쉽게 알아냅니다. 하지만 893을 소인수분해하라고 하면 시간이 좀 걸릴 거예요. 그런데 10자리 수를 소인수분해하려고 하면 아마 엄두가 나지 않겠죠. 이런 큰 수의 계산을 쉽고 간단하게 처리하는 방법, 즉 지혜를 발굴하는 여정이 수학이라고 할 수 있습니다. RSA 암호, 유클리드 호제법 모두 간단한 수학의 지식에서 얻어진 인간의 놀라운 지혜의 산물입니다. 이 책은 그러한 지혜가 어떻게 생기는지를 알아가는 과정입니다.” -닫는 글에서

수학과 암호학의 만남!
수학의 원리로 이해하는 RSA 암호와 놀라운 정수·소수의 세계

 이 책의 특별한 점은 수학과 암호학의 만남을 이야기 형식으로 흥미롭게 풀어냈다는 점이다. RSA 암호는 인터넷 보완과 전자상거래에 필요한 대표적인 암호화 알고리즘으로, RSA 암호를 개발한 세 연구자는 컴퓨터 공학의 노벨상이라 불리는 튜링상을 수상했을 만큼 이 분야에 공헌한 바가 크다. 이 책은 최초의 비대칭형(공개키) 알고리즘인 RSA 암호가 어떠한 수학적 원리로 이루어져 있는지 차근차근 밝히는 시도이기도 하다.

RSA 암호 알고리즘의 기반이 되는 수학 원리는 초등부터 고등학교 과정에서 배우는 수학 개념을 확장해 이해할 수 있는 내용이다. 이 책의 세 주인공들은 배수, 약수, 소수, 소인수분해, 최대공약수, 합동식, 서로소 등의 수학 개념을 파악하며 비밀문서 암호 해독에 점점 가까워진다. 세 주인공들의 사고실험을 쫓다 보면 위대한 수학적 발견인 유클리드 호제법, 페르마의 소정리, 오일러 피 함수가 어떤 의미를 가지며 어떻게 응용되는지 자연스레 이해하게 된다.

특히 이 모든 암호화 비밀의 큰 열쇠는 불규칙한 소수의 특성에서 비롯한다. 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 양의 정수라는 간단한 정의와 다르게, 소수의 분포는 매우 불규칙하며 소수를 만들어내는 공식은 아직까지 알려진 것이 없다. 그럼에도 거대한 불규칙 속에서 작은 규칙성을 찾기 위한 수학자들의 노력은 고대부터 오늘날까지 계속되고 있다. 소수 판정, 소수의 무한성 증명, 페르마의 소정리, 오일러 피 함수 등 이 책에서 다루는 내용도 그러한 노력의 결과물들이다. 과연 수학자들의 머릿속에서 어떤 생각들이 오고 갔을까? 이 책에서 작은 수학자들의 위대한 발견의 순간을 함께 만끽해보길 바란다.

“많은 부모들이 우리 아이가 수학 천재가 아닐까 하는 착각을 한번쯤 합니다. 조기교육으로 어린 나이에 비해 아는 것이 많으니 뿌듯함을 느끼게 되거든요. 하지만 학년이 오를수록 배워서 습득하는 것에만 익숙해지면서 생각할 줄 모르는 뇌가 되어갑니다. (…) 그저 배우는 데만 급급하면 머릿속에 한 가지 길만 형성되어 자신의 지식이나 정보를 상황에 맞게 끌어올 수 없어요. 그것은 머릿속에 있다 해도 길 잃은 수학 지식에 불과하답니다.

이 책은 단지 지식을 전달하려는 목적으로 쓰이지 않았습니다. 어떻게 수학적 지혜가 발현되는지를 여러분에게 소개해 수학에 흥미와 관심을 불어넣을 수 있었으면 하는 바람으로 쓰였답니다. 책의 주인공들은 선조가 남긴 암호문을 해독하기 위해 부단히 노력합니다. 누군가에게 배우거나 도움을 받지 않고 스스로의 힘과 정보를 가지고 새로운 사실들을 하나씩 도출해내면서 암호문 해독에 이르게 돼요. 나중에는 인류의 위대한 수학자인 오일러가 빙의한 것처럼 그가 발견한 정리를 찾아내기까지 한답니다. 과장된 면도 있지만, 반드시 과장만은 아니라는 것을 알아주셨으면 해요. 이 책을 통해 독자 여러분이 수학 지식을 넘어 지혜를 얻을 수 있기를 기대합니다.” -여는 글에서

 

고의관
서울대학교 물리학과에서 이학석사, 고려대학교에서 이학박사 학위를 받았다. 현재 미래창조과학부 산하 한국기초과학지원연구원에서 책임연구원으로 일하고 있다. 물리학을 전공했지만, 고교 시절부터 수학의 매력에 빠져 별별 재미난 수학 문제를 찾아 푸는 게 취미다. 해법의 문이 쉽게 열리는 않는 문제일수록, 몇 날 며칠을 매달려야 풀리는 문제일수록 도전하는 쾌감이 있었다.
자신의 경험을 살려 단순공식암기에서 벗어나 스스로 깊이 사고하고 문제를 해결해가는 <작은 수학자의 생각실험> 시리즈를 펴내고 있다. ‘생각하는 수학은 힘이 세다!’라는 모토 아래, 수학 문제 하나를 풀기 위한 꼬리에 꼬리를 무는 사고실험을 담은 책들이다. 그 첫 번째 권으로 『작은 수학자의 생각실험 1: 외우지 않고 이해하는 미분·적분의 기본 원리』(2015 세종도서 교양부문 선정도서), 두 번째 권으로 『작은 수학자의 생각실험 2: 우리가 몰랐던 수열과 조합의 놀라운 세계』가 출간되어 있다.

 

여는 글│생각하는 수학은 힘이 세다!

1장 선조가 남긴 유산
* 암호의 원천은 수학!
1 수수께끼 같은 선조의 유품
2 유한소수와 순환소수
3 순환소수가 되는 이유
* 연습문제

2장 오래된 문서와 암호
* 소수가 수학에서 차지하는 의미
4 시저 암호
5 영문의 빈도수
6 혼돈 속에 숨어 있는 규칙
7 소수와 합성수
8 배수 판정법
9 소수의 판정
10 암호의 조합
* 연습문제

3장 암호문 숫자의 비밀
* 나머지와 합동식
11 귀류법
12 소수의 개수
13 소수의 분포
14 공개키 암호의 개념
15 공개키 알고리즘
* 연습문제

4장 지식을 꿰어 지혜로
* 수학계의 거장, 오일러
16 합동식의 정의
17 사칙연산이 가능한 합동식
18 거듭제곱의 나머지 계산
19 페르마의 소정리
20 소수와는 다르게 움직이는 합성수
21 서로소가 지닌 의미
* 연습문제

5장 마침내 해독된 암호문
* 비대칭 암호의 대표, RSA 암호
22 포함배제의 원리
23 오일러 피 함수
24 생각을 담은 수식
25 공개키 암호 제작
26 유클리드 호제법
27 어려운 소인수분해
28 드디어 해독된 숫자
* 연습문제

 닫는 글│수학의 기본부터 실력 다지기까지, 정수로 시작하는 생각실험

 부록
 부록 1 영문의 빈도수
 부록 2 에라토스테네스의 체
 부록 3 7의 배수 판정법
 부록 4 소수의 무한성 증명
 부록 5 소수의 분포도
 부록 6 RSA 암호
 부록 7 페르마의 소정리의 증명
 부록 8 오일러 정리의 증명
 부록 9 포함배제의 원리
 부록 10 a=bq+r일 때 gcd(a, b)=gcd(b, r)의 증명
 부록 11 합동식의 역수(잉여역수) 구하기
 부록 12 소수의 미해결 문제들
 부록 13 복호화 과정

 연습문제 정답과 풀이
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