실체에 이르는 길1

▣ 출판사서평

세계적인 석학 로저 펜로즈의 8년 만의 역작.
드디어 한국 출간!
피타고라스 정리에서 트위스터 이론까지
물리학을 이 한 권에 담았다.

거장의 손으로, 현대물리학의 ''숲''을 볼 기회가 열리다

2,500년 동안 크나큰 발전을 이룬 과학은 인간의 역사에서 가장 엄밀하고 정확한 발명(내지는 발견)으로서, 그 신뢰성은 이미 종교를 넘어섰다. 그러나 현대 과학은 "콜레스테롤 분자는 무엇으로 구성되어 있는가?"나 "우라늄 원자는 왜 불안정한가?"같이 물리적 실체가 작동하는 방식을 묻는 물음에는 옳은 답을 주지만, "전자란 무엇인가?", "공간은 왜 3차원인가?"처럼 실체의 ''정체''에는 답을 주지 못하고 있다. 『황제의 새 마음』으로 물리적 구조에 ''정신''이 깃들 가능성을 탐구했던 수리물리학자 로저 펜로즈가, 이 무모해 보이기까지 하는 물음에 천착해 8년이라는 세월 끝에 『실체에 이르는 길』이라는 보고서를 내놓았다. 이 책의 주제를 한마디로 정의하자면 바로 ''물리계의 양태와 수학 개념 간의 관계''이다.

파이버번들로 상대성이론을, 리 대수로 초끈이론을 설명하는 교양 과학서적이 지금까지 있었던가? 물리학을 한 권에 녹여내는 것이나 다름없는 이 과업에, 펜로즈는 수학과 물리학에서 이룬 자신의 비상한 업적들과 여러 가지 수학적 ''도구''를 무기 삼아 도전했다. 그는 비유를 통한 설명이나 일화의 나열에 중점을 두기보다는 수학적 내용을 처음서부터 쌓아 올리며 결론에 이르는 방식을 선택했다. 플라톤 입체에서 피타고라스 정리로, 피타고라스 정리에서 복소수로, 미분연산자로, 해밀토니안으로, 양자역학으로 차근차근 이어지는 설명에는 필연적으로 수많은 공식이 수반된다. 그러나 그 대가로 이 책은 수정 같은 명징함을 얻었다. 공식들을 따라가다 보면 물리학의 정수를 의미가 흐려지는 일 없이 획득하는 경험이 독자들을 기다리고 있다. 전개를 따라가지 못하는 독자라고 해도 문제는 없다. 펜로즈가 서문에서 밝히듯, 이 책은 수학의 ''묘수''들을 그림 감상하듯(그의 남동생 조너선 펜로즈는 체스 그랜드 마스터이기도 하다!) 훑고 넘어가면서 읽어도 아무런 문제가 없도록 쓰였다.

2권에 들어서 엔트로피, 빅뱅, 인플레이션(대칭붕괴) 우주론, 현재 가장 유행하는 초끈이론으로 이어지는 숨가쁜 물리학 여행을 이끌면서, 펜로즈는 서서히 물리학계의 상황을 바라보는 자신의 목소리를 내기 시작한다. 그의 눈에 양자역학은 실체의 ''확률''만을 제공한다는 특성 탓에 최고의 이론이 아니며, 20세기 최고의 과학이론은 아인슈타인 상대성이론이다. 두 이론에서 쓰이는 수학의 중요한 특성은 각각 ''복소수체계''와 ''대칭''이다. 양자역학은 복소수체계에 의존하며, 대칭은 물리학의 핵심을 이루는 개념으로써 게이지 이론에서 중요한 역할을 한다. 그런데 복소수에 의존하는 양자역학에 측정이 개입하는 순간(양자상태축소) 비 복소해석성이 나타나는 이유는 무엇일까? 또한, 우주는 초기의 대칭이 붕괴된 결과가 아니라 아예 처음부터 비대칭이었던 건 아닐까? 그는 양자역학과 상대성이론의 ''결혼''을 꾀하는 이론들이 꼭 우리 눈에 보이는 시공간 차원(1+3차원)보다 더 높은 차원을 주장해야만 하는지 의문을 제기하며, 50년간 연구해 온 자신의 대안, 즉 이론 안에 비대칭과 불연속 요소를 지닌 스핀네트워크 이론과 트위스터 이론을 소개한다. 하지만 이 이론들(끈이론까지 포함해서)은 모두 천문학적 에너지가 소요되기에 검증이 불가능하다는 약점을 안고 있다. 그는 끈이론을 소개하는 다른 책들 마냥 자신의 대안이 모든 것을 설명해줄 만능의 열쇠라고는 말하지 않는다. 각 이론의 현황을 보고하고 양자이론에 변화를 촉구하는 선에서 멈추었다는 사실이 이 책의 또 다른 미덕이다. 그는 수학의 대칭이나 우아함, 아름다움만으로 이론을 연구할 가치를 평가하려는 과학계의 유행을 우려하며, 21세기 물리학에 영향을 줄 수학이론의 후보로 괴델의 불완전성정리를 꼽는다.

이 노학자의 저작이 제목처럼 ''실체에 이르는 길''이란 목표를 훌륭히 완수했다고 말할 수 있을까? 현재진행형이라고 말하는 편이 더 타당하리라. 그러나 스티븐 호킹과 어깨를 나란히 하는 거목이 창조해 낸 이 ''현대물리학의 집대성''은 미래에 펼쳐질 물리학의 환상이나 발자취만 따라가기를 원치 않는 이들에게는 반드시 읽어야만 할 책이다.

참고자료: 로저 펜로즈가 쓴 호킹의 『위대한 설계』 서평 (영국 파이낸셜 타임즈)

『위대한 설계』에서, 스티븐 호킹은 탁월한 과학저술가 레오나르드 믈로디노프의 도움을 받아 물리적 실체를 바라보는 자신의 관점과 미래의 기초물리학에 대한 기대를 저술했다. 이 주제들은 올바른 유추를 통해 쉽게 읽히게끔 쓰였지만, 일반 독자들이 이런 식으로 충분한 이해에 도달할지는 의문이다.
여기에는 부분적으로 "M-이론", 즉 끈이론의 (유행 중이지만 근본적으로는 미완성인)한 줄기가 쓰이는데, 두 저자는 호킹의 괴상하게 들리는 이론 의존적 실체론 철학관을 예증하고 미래 물리학을 이끌 가장 유력한 후보로 M-이론을 꼽는다.

이론 의존적 실체론을 짧게라도 설명하려면, 1970년대 초 캘리포니아의 한 저녁 만찬에서부터 시작해야 한다. 스티븐 호킹과 나는 처음엔 실체의 본질에 관해 비슷한 관점을 가졌''었''다. 이렇게 말하는 이유는 우리 관점이 결국엔 서로 완전히 갈라졌기 때문이다. 내 식탁 앞에 앉아서 호킹은 세 가지 놀라운 주장을 펼쳤다. 첫째: "바리온 수는 보존되지 않네." 이례적이기는 했지만, 나에게 크게 문젯거리는 아니었다. 바리온 보존은 원자핵의 붕괴를 막는다. 호킹의 주장은 관측 불가능할 정도로 느린 붕괴율을 수반했고, 이는 내 세계관과 부딪히지 않았다.

그렇게 그는 더 극단적으로 나아갔다: "순수 상태는 밀도행렬로 변할 수 있네." 이는 양자역학 법칙 전체의 근본적인 변화를 의미했다. 나에게 이 주장은 마음엔 들지 않기는커녕, 매혹적이었다. 왜냐하면, 양자역학이 언젠가는 반드시 더 완전하게 변하리라는 사실을 믿을 증거들이 이미 있었기 때문이다. 오히려 ''바리온 붕괴''처럼, 블랙홀에 대한 깊은 고찰과 양자 효과로 블랙홀이 결국 사라진다는 놀라운 예언에서 그가 더 새로이 나아간 추론을 듣게 되었다는 사실이 기쁠 지경이었다. 나는 마음을 누그러뜨리고 그에게 "다음!"을 종용했다.

나는 이게 호킹이 원했던 반응하곤 달랐던 것일까 두려웠고, 아니나다를까 그는 "블랙홀과 화이트 홀은 같다네!"라고 선언했다. 이 말을 들은 나의 감상은 한마디로 ''저질러 버렸군.''이었다. 가상의 ''화이트홀''은 블랙홀과 원리는 같을지 몰라도 시간상으로 정반대의 일을 하기에, 물질을 빨아들이는 블랙홀과 달리 물질을 방출하며 사라질 운명이다. 호킹의 추측은 시공간 기하학이 작용하는 양자적 수정을 가했을 때 두 과정이 반드시 같아야만 한다는 것이었다. 나는 극미(極微)의 홀에서는 몰라도, 별이 붕괴하는 큰 규모에서 이것이 성립한다는 이야기에는 동의할 수 없었다. 호킹의 분석은 시공간 기하학을 완전히 주관적으로, 즉 거대 블랙홀 수준에서도 ''관측자 의존적으로'' 간주했다. 내 분석은 조금 달랐는데, 내 생각에는(지금도 그대로이다) 중력효과가 개입할 때 양자역학 기본법칙은 큰 변화를 겪어야만 했다.
양자역학을 보는 이 태도의 차이는 아직도 우리 관점이 차이 나게 하는 큰 이유이다. 최근 호킹은 두 번째 주장의 논조를 누그러뜨려서 지금은 양자이론이 모든 수준에서 변화없이 지속되어야 함을 믿는 듯 보인다. 양자역학을 다루면서 아인슈타인이 겪었던 어려움은(나에게도 마찬가지로 어려운데) 양자역학이 물리적 실체의 주관상으로 이어진다는 점이었다. 『위대한 설계』가 옹호하는 이론 의존적 실체론 관점은, 어떻게 보면 객관적 실체론을 완전히 내치지 못하고 그때그때 바라본 특정 이론들의 서로 다른 관점을 수용해서 블랙홀과 화이트홀이 같을 가능성을 만들어내는 임시 수용소 같다.

두 저자는 ''어항 밖의 물리계를 이론화하려는 금붕어''의 예를 이용해 이론 의존적 실체론을 설명하려 한다. 어항 밖 사람의 눈에는 직선인 벽이 금붕어에겐 굽어 보일 것이다. 그러나 금붕어와 인간의 관점은 똑같이 정합적이며 두 생명체의 물리적 행동을 한번에 동일하게 예견한다. 둘 중 어느 한 관점이 실제를 더 정확하게 나타내는 것이 아니다. 두 관점은 동일하게 미래를 예견한다.

하지만, 나는 이 관점이 무엇이 새로운지, 무엇이 ''이론 의존적''인지 모르겠다. 아인슈타인 일반상대성이론은 이미 이런 상황을 더할 나위 없이 올바른 방식으로 처리하며, 서로 다른 관측자들은 단일 고정된 객관적 시공간의 기하학을 국소적으로 서술하는 다른 좌표계를 선택할 수 있다. 이는 공간을 다루는 유클리드의 고대 기하학에서 나타나는 수학보다 교묘함과 복잡함의 수준에서 훨씬 더 나아간 것이다. 그러나 이론이 세계를 서술하는 수학적 ''시공간''은, 완전히 객관적이다.

최근까지도 양자이론은 인정받을 만한 실체의 보편적 객관상을 제공하지 못하고 있다. 그러면서 양자역학이 앞 문단에서 언급했던 (일반상대성이론을 포함하는)고전물리학의 객관성을 위협한다는 점 또한 사실이다. 내 생각엔 이는 아인슈타인의 선견지명을, 즉 양자역학의 불완전성을 반영한다. 실체의 객관상에 이르는 양자역학의 ''완성법''은 하나같이 아인슈타인 일반상대성이론적 시공간이라는 수학 개념보다 더 교묘하고 복잡한 개념을 요구할 듯싶다. 그러나 이 도전은 후세의 이론가들이 할 일이며 내 생각엔 객관적 우주의 존재에 대한 실제 위협을 의미하지는 않는다. M-이론에도 같은 말이 적용되지만, 양자역학과는 달리 M-이론은 (무엇이 되었든)실제 관찰에서 도움므 받지 못할 것이다.

''트위스터 이론''이, 한국 독자들에게 처음 소개되다

1996년 국내의 출간된 로저 펜로즈의 저작 『황제의 새 마음』에서 이름만 나왔을 뿐 구체적인 얼개가 너무 난해하다는 이유로 설명되지 않았던 트위스터 이론이, 드디어 그 창시자의 저서로 대한민국 교양과학 독자들을 찾아왔다. 그동안 국내에 초끈이론을 다룬 책들은 아주 많았고 고리양자중력을 다룬 책도 몇 권 소개되었으나, 트위스터 이론을 설명하는 책으로는 이 『실체에 이르는 길』이 처음이자 유일하다.
트위스터 이론이란 과연 무엇인가? 트위스터 이론은 ''매끄러운'' 상대성이론의 시공간과 양자역학의 결합에서 태어나는 모순을 피하기 위해 불연속적인 시공간, 또는 양자적 특성이 반영된 시공간을 구축하려는 이론이다. 트위스터 이론은 그동안 시공간의 점들이 물리학에서 해왔던 중요한 역할을 박탈한다. 여기서 시공간은 부차적인 요소이며, 가장 근본 요소는 ''트위스터''이다. 보통의 시공간은 빛의 경로를 ''궤적''으로, 사건은 ''점''으로 표현하지만, 트위스터 공간에서는 반대로 빛의 경로를 점으로, 사건을 궤적으로 표현한다. 트위스터 이론은 트위스터를 서술하는 복소해석함수가 질량이 없는 장방정식의 해를 양산해 낸다는 사실을 증명했고, 비선형 중력자를 성공적으로 구축하였다. 물리학계에서 끈이론처럼 ''유행''을 타지는 못했기에 연구하는 이들의 수가 많지는 않지만, ''초끈이론의 대부'' 에드워드 위튼이 트위스터 이론의 개념을 초끈이론에 접목하려 시도하는 등 그 중요성이 차츰 재평가받고 있다.
『엘러건트 유니버스』로 독자에게 초끈이론을 쉽게 설명했던 박병철 역자의 손으로 유려하게 번역된 『실체에 이르는 길』은, 최첨단 물리학의 판도에 목마른 독자의 갈증을 풀어주기에 부족함이 없는 저작이다.

『실체에 이르는 길』에 쏟아진 전 세계의 찬사들!

"정말로 놀라운 책이다…… 펜로즈는 인간의 상상력과 자연을 연결하는 아름다움과 미묘함을 만천하에 드러냈다. 그는 상상력의 가능성과 한계를 분명하게 보여주었을 뿐만 아니라, 물리계의 실체를 향한 우리의 노력이 막다른 길로 가지 않는 영원한 탐구 여행임을 증명했다." -- 존 콘웰(John Cornwell), 런던 선데이타임스(The Sunday Times, London)

"과학계에는 펜로즈와 같은 학자가 많아야 한다. 그는 권위 있는 목소리로 현재 유행을 타고 있는 물리학이론의 단점을 날카롭게 지적하면서 새로운 대안을 제시하고 있다." -- 존 그리빈(John Gribbin), 인디펜던트(The Independent)

"지나치게 단순화하지 않고 어려운 문제를 피해 가지 않으면서, 자신이 답을 알고 있는 체하지 않는 저자의 책을 읽는 것은 정말로 즐거운 일이다…… 펜로즈의 넘치는 열정과 백과사전 같은 방대한 지식, 그리고 그가 보여주는 겸손한 태도는 250쪽 남짓한 책으로 이 세계를 전부 설명하려는 물리학자들에게 귀감이 될 것이다." -- 나이젤 호크스(Nigel Hawkes), 더 타임스(The Times, London)

우리 시대 가장 뛰어난 수리물리학자가, 실체를 서술하는 물리 법칙을 특히 수학적 요소에 중점을 두어 서술한 철저한 보고서이다 -- Rama Rao(미국 버지니아 주, 아난데일)

이 책은 결말이 뜯겨진 추리 소설과도 같아서 당신은 필사적으로 책의 마지막 장을 좇을 것이다. 당신의 영웅이 아인슈타인, 디랙, 리차드 파인만, 스티븐 호킹이라면 반드시 이 책을 읽으라. 그렇지 않은 사람이라도 어쨌든 읽으라. 그들이 당신의 영웅이 될 것이다. -- P. Turner(영국)

중요한 부분에 대한 자세한 서술을 지나치게 아끼는 대중과학서나 어려운 세부 사항 때문에 나무만 보여주고 숲을 보여주지 못하는 학술 서적 사이에서 중용을 지킨 책이다. 핵심 수학을 피해가지 않으면서도 이 모두가 무엇을 의미하는지에 대한 탁월한 설명을 놓치지 않는 이 책은 당신의 서재를 완벽하게 보완할 것이다. -- Mr. J. D. Small(영국 켄트 주, 파버샴)

▣ 작가 소개

저 : 로저 펜로즈
Roger Penrose
펜로즈 하면 흔히 그가 고안한 실제로는 불가능한 입체인 ''펜로즈 삼각형''이나, 그의 아버지인 정신과의사(이자 수학자) 라이오넬 펜로즈와 함께 만든 비주기성 타일, 펜로즈 타일을 연상하기 쉽다[펜로즈 삼각형(펜로즈 계단)은 M.C. 에셔의 「폭포」, 「상승과 하강」같은 작품에 영감을 주었다. 펜로즈 타일은 크리넥스 사의 엠보싱 화장지에 종이 사용량을 줄이려 무단으로 쓰여 법정에까지 이르는 사건이 되기도 했다].

그러나 그의 본령은, 사실 수리물리학이다. 그는 우주 이해에 대한 공헌으로 1988년 스티븐 호킹과 함께 울프상(Wolf prize)을 공동 수상하였으며 그가 탄 상은 이 이외에도 영국 물리학협회의 디랙 메달, 알베르트 아인슈타인 협회의 아인슈타인 메달, 왕립천문학회의 에딩턴 메달 등 수십여 개에 달한다. 그는 과학에 대한 공로로 1994년 영국 기사 작위를 받았다. 그의 이름을 딴 펜로즈 다이어그램은 블랙홀에 접근하는 물질의 성질을 연구할 때 이용되고 있다.

1931년 영국 에식스 주 컬체스터에서 출생한 펜로즈는, 런던 유니버시티 칼리지를 졸업하고 세인트존스 칼리지에서 수학 박사 학위를 받았다. 현재 산수(傘壽)를 바라보는 나이에도 옥스퍼드 대학교 수학과의 라우스 볼 석좌교수(Emeritus Rouse Ball Professor)를 역임하고 있으며, 미국의 여러 대학에서도 강연 중이다.

저서로는 물리학, 수학, 생물학, 뇌 과학을 넘나들며 정신을 계산적으로 구현 가능한지 탐구한 『황제의 새 마음(The Emperor''s New Mind)』(이화여자대학교 출판부)과 후속작 『마음의 그림자(Shadows of Mind)』가 특히 유명하다. 그 외의 저서로는 『시간과 공간의 성질(The Nature of Space and Time)』, 『우주, 양자, 마음(The Large, the small and the Human Mind)』(사이언스북스) 등이 있다. 빅뱅 이전에 또 다른 우주(이온aeon: 빅뱅 이후 시기)가 있었으며 이전 이온의 말기에 대폭발이 발생, 지금의 우주가 만들어졌다는 등각 순환우주론(Conformal Cyclic Cosmology, CCC)을 다룬 『시간의 순환(Cycles of Time)』을 2011년 5월 예정으로 집필 중이다. 2010년 11월 29일, 펜로즈가 이끄는 연구진은 우주배경복사 변화가 비정상적으로 낮은 은하단 주변에서 빅뱅 발생 이전에 일어난 사건의 흔적을 담은 고리 모양을 발견했음을 물리학 저널 사이트 아카이브(arXiv)에 발표했다.

역 : 박병철
1960년 서울에서 태어나 연세대학교와 동 대학원 물리학과를 졸업하고 한국과학기술원(KAIST)에서 이론물리학을 전공하여 박사 학위를 받았다. 현재 경희대학교 및 대진대학교 물리학과 초빙교수이며, 번역가로도 활동하고 있다. 옮긴 책으로는 『엘러건트 유니버스』, 『우주의 구조』, 『블랙홀을 향해 날아간 이카로스』, 『파인만의 물리학 강의 Ⅰ, Ⅱ』, 『일반인을 위한 파인만의 QED 강의』, 『리만 가설』, 『타이슨이 연주하는 우주 교향곡 Ⅰ, Ⅱ』, 『허수』, 『페르마의 마지막 정리』, 『평행우주』, 『불가능은 없다』 등이 있다. 그의 이름을 듣고 초끈이론을 널리 알리는 데 공헌한 브라이언 그린의 책 번역을 떠올리는 사람이 많겠지만, 실은 『초끈이론의 진실』(승산)이나 이번 『실체에 이르는 길』처럼 물리학의 현 상황을 독자들에게 올바르게 알리는 일에 주력하고 있다. 언제나 한결같은 과학에 대한 열정으로 번역에 5년, 편집에 2년이 걸린 이 작업을 끝까지 완수하였다.

▣ 주요 목차

서문
감사의 글
기호설명
입문

제1장 과학의 뿌리
1.1 이 세계를 지금과 같은 모습으로 만든 힘의 원천은 무엇인가?
1.2 수학적 진리
1.3 플라톤의 ''이상적 수학세계''는 정말로 존재하는가?
1.4 세 가지 세계와 세 개의 미스터리
1.5 선과 진리, 그리고 아름다움

제2장 고대의 정리와 현대의 질문
2.1 피타고라스의 정리
2.2 유클리드의 공준
2.3 닮음을 이용한 피타고라스 정리의 증명
2.4 쌍곡기하학과 등각표현
2.5 쌍곡기하학의 다른 표현법
2.6 쌍곡기하학의 역사
2.7 물리적 공간과의 관계

제3장 물리적 세계에 존재하는 수(數)
3.1 피타고라스에게 닥친 대 재난
3.2 실수체계
3.3 현실세계에 존재하는 실수(實數)
3.4 자연수는 물리적 세계 없이도 존재할 수 있을까?
3.5 물리적 세계에 존재하는 불연속 수

제4장 마법 같은 복소수
4.1 마법의 수''I''
4.2 복소수를 이용한 방정식 해법
4.3 멱급수의 수렴
4.4 캐스퍼 베셀의 복소평면
4.5 만델브로트 집합

제5장 로그, 지수, 제곱근의 기하학적 성질
5.1 복소대수의 기하학적 성질
5.2 복소 로그함수
5.3 다가성(多價性, multiple valuedness), 자연로그
5.4 복소지수
5.5 현대입자물리학과 복소수의 관계

제6장 실함수의 미분과 적분
6.1 함수란 무엇인가?
6.2 함수의 기울기
6.3 고계 도함수 : C-매끈한 함수
6.4 함수에 대한 ''오일러식''개념
6.5 미분과 관련된 공식들
6.6 적분

제7장 복소함수의 미분과 적분
7.1 복소함수의 매끈함 : 복소해석함수
7.2 경로적분
7.3 매끈한 복소함수의 멱급수 전개
7.4 해석적 접속

제8장 리만 곡면과 복소사상
8.1 리만 곡면의 기본개념
8.2 등각사상
8.3 리만 구면
8.4 컴팩트 리만 곡면의 종류
8.5 리만사상 정리

제9장 푸리에 분해와 초함수
9.1 푸리에 급수
9.2 원주 상에서 정의된 함수
9.3 리만 구면의 진동수 분할
9.4 푸리에 변환
9.5 푸리에 변환의 진동수 분할
9.6 어떤 함수가 적절한가?
9.7 초함수

제10장 곡면
10.1 복소차원과 실차원
10.2 함수의 매끈함과 편미분
10.3 벡터장과 1-형식
10.4 성분, 스칼라곱
10.5 코시-리만 방정식

제11장 다원수
11.1 4원수의 대수학
11.2 물리학에서 4원수의 역할
11.3 4원수의 기하학
11.4 3차원 회전
11.5 클리포드 대수
11.6 그라스만 대수

제12장 n차원 다양체
12.1 고차원 다양체를 알아야 하는 이유
12.2 다양체와 좌표조각
12.3 스칼라, 벡터, 코벡터
12.4 스라스만곱
12.5 형식의 적분
12.6 외미분
12.7 부피요소 : 합규약
12.8 텐서 : 추상 - 지표와 다이어그램 표기법
12.9 복소다양체

제13장 대칭군
13.1 변환군
13.2 부분군과 단순군
13.3 선형변환과 행렬
13.4 행렬식과 대각합
13.5 고유값과 고유벡터
13.6 표현론과 리대수
13.7 텐서 표현공간 : 가약성
13.8 직교군
13.9 유니터리군
13.10 심플렉틱군(사교군)

제14장 다양체 위에서의 미적분
14.1 다양체 위에서의 미분?
14.2 평행이동
14.3 공변미분
14.4 곡률과 꼬임률
14.5 측지선, 평행사변형, 곡률
14.6 리 도함수
14.7 계량의 용도는 무엇인가?
14.8 심플렉틱 다양체

제15장 파이버번들과 게이지 접속
15.1 파이버번들의 물리적 의미
15.2 번들의 수학적 개념
15.3 번들의 절단면
15.4 클리포드 - 호프 번들
15.5 복소 벡터번들과 여접변들 사영공간
15.6 자명하지 않은 번들 접속
15.7 번들 곡률

제16장 무한대로 가는 사다리
16.1 유한체
16.2 물리학의 유한/무한 기하학?
16.3 다양한 크기의 무한대
16.4 칸토어의 대각 슬래쉬
16.5 수학의 기초를 위협하는 난제
16.6 튜링머신과 괴델의 정리
16.7 무한대의 크기

제17장 시공간
17.1 아리스토텔레스의 시공간
17.2 갈릴레오의 상대성에의한 시공간
17.3 뉴턴의 역학과 시공간
17.4 등가원리
17.5 카르탕의 ''뉴턴 시공간''
17.6 변하지 않는 유한한 광속
17.7 빛원뿔
17.8 절대시간 개념을 포기하다
17.9 아인슈타인의 일반상대성이론과 휘어진 시공간

제18장 민코프스키 기하학
18.1 유클리드 및 민코프스키 4차원 공간
18.2 민코프스키 공간의 대칭군
18.3 로렌츠 직교성 : ''시계역설''
18.4 민코프스키 공간의 쌍곡기하학
18.5 리만 구면의 관점에서 바라본 천구(天球)
18.6 뉴턴 역학의 에너지와 (각)운동량
18.7 상대론적 에너지와 (각)운동량

제19장 맥스웰과 아인슈타인의 고전적 장(場)
19.1 뉴턴 역학과 동 떨어진 곳에서 일어난 혁명
19.2 맥스웰의 전자기이론
19.3 맥스웰 이론의 보존법칙과 선속법칙
19.4 맥스웰장과 게이지 곡률
19.5 에너지-운동량 텐서
19.6 아인슈타인의 장방정식
19.7 우주상수와 바일텐서
19.8 중력장 에너지

제20장 라그랑지안과 해밀토니안
20.1 마술 같은 라그랑지안 역학체계
20.2 더욱 대칭적인 해밀토니안 체계
20.3 작은 진동
20.4 심플렉틱 기하학적 관점에서 바라본 해밀토니안 역학
20.5 라그랑지안 체계에서 장을 다루는 방법
20.6 현대물리학의 라그랑지안

참고문헌
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