수학으로 생각하는 힘

“우리는 수학한다, 고로 존재한다”

수학은 일상의 기쁨과 슬픔을 좌우하는 요소이자,

어쩌면 삶과 죽음을 가르는 결정적 문제

★★★ 수학자 김민형 X 물리학자 김상욱 X 소설가 이언 매큐언… 강력 추천!

“이것이 바로 현실 수학! 세상이 이토록 수학적임을 깨닫는 강렬한 여정으로 안내하는 책”

〉〉 암 양성 판정에도 침착할 수 있도록 돕는 수학?

; 일단 심호흡을 하고, 이 검사의 정확도를 계산해보자

유방암 선별검사 결과, 양성 판정을 받았다. 이 선별검사는 ‘암에 걸린 경우와 그 반대 경우에서, 열에 아홉을 정확하게 구별해낸다’고 한다. 암일 확률이 90%라고?! 충격과 공포로 주저앉기 전에 잠시 수학적으로 접근해보면 도움이 된다. 사실상, 간단한 수학적 논증을 거치면, 이 선별검사에서 받은 양성 판정은 유방암이 아닐 가능성이 압도적으로 높기 때문이다.

평균 발병률 0.4%의 조건에서 50대 여성 1만 명이 이 선별검사를 받았다고 치자. 1만 명 가운데 40명은 유방암이고, 9960명은 아니다. 유방암인 40명 가운데 참 양성은 90%인 36명이다. 문제는 유방암이 아닌 9960명 가운데 10%인 996명이 거짓 양성을 판정받는 데 있다. 양성 판정을 받은 1032명 가운데 36명만이 진짜 암인 것이다. ‘열에 아홉을 정확하게 구별해내는’ 이 검사의 정확도는 3.48%에 불과한 것이다.

검사의 정밀도를 높이는 아주 단순한 방법이 있는데, 바로 두 번째 검사를 받는 것이다. 많은 질병에 있어서 첫 번째 검사는 대개 특이도가 낮은(거짓 양성이 많이 나오는) 선별검사로 진행된다. 값싼 비용으로 잠재적 환자를 최대한 많이 발견하도록 설계하기 때문이다. 두 번째 검사는 대개 진단검사인데, 특이도가 훨씬 높아 거짓 양성 대다수를 걸러낸다.

같은 맥락에서, 유방암 선별검사를 매년 받으면, 아무 이상 없는 사람도 평생 한번쯤은 (거짓) 양성 판정을 받을 가능성이 매우 높아진다. 자, 이제 좀 진정이 되는가? 수학의 방에 들어갔다 나온 당신은 훨씬 담담하게 두 번째 검사를 위한 예약 전화를 걸고 있을 것이다.

좋든 싫든 거짓 양성과 거짓 음성은 피할 수 없다. 현대 기술이 필터링 같은 도구로 일부 문제를 처리하는 데 도움을 줄 수 있지만, 판단과 선택에 관한 문제는 우리 스스로 배워야 한다. 즉, 의심(수학)의 눈으로 검사 결과를 따져봐야 한다. 검사 결과를 완전히 무시할 수는 없지만, 불필요한 불면의 밤을 보내는 일은 피할 수 있다. 덧붙이자면, 더 정확한 검사가 없을 때라도, 동일한 검사를 한 번 더 받는 것으로 결과의 정밀도를 크게 높일 수 있다. (민감도와 특이도와 필터링에 관해서 이 책의 2장을 읽어보자.)

〉〉 꼬리에 꼬리를 물며 최적 경로로 연결하는 수학 토크쇼!

“셜록 홈즈처럼 읽히는 수학책이라니!” (수학자 스티븐 스트로가츠)

“알아두면 쓸데있는 신비한 수학 잡학 사전이다” (물리학자 김상욱)

“나처럼 수학에 약한 사람도 푹 빠져들어 읽을 수 있다” (소설가 이언 매큐언)

『수학으로 생각하는 힘』은 우리가 사실상 수학 속에서 살아가고 있음을 생생하게 보여주고, 수학의 안경을 건네주어 좀 덜 틀리며 살아가는 법을 알려주는 책이다. 이 책에는 방정식이 전혀 등장하지 않을뿐더러, 미분이나 적분이니 하는 어려운 수학 개념어도 등장하지 않는다. 대신, 이야기가 가득하다. 꼬리에 꼬리를 물고 이어지는 이야기들은 다방면의 주제와 분야를 종횡무진하며, 수학에서 출발하여 세상 문제를 통찰하는(혹은 그 반대 경로의) 지적 탐험으로 독자를 안내한다.

저자는 수학의 응용(또는 오용)이 결정적 원인이 되어 사람들의 운명을 확 바꾸어놓은 실제 사건들을 엮어서 들려준다. ‘타고난 이야기꾼’ ‘차세대 수학 스토리텔러’로 주목받는 응용수학자답게, 문제에서 해결로 나아가는 실마리가 되는 주제들을 적재적소에 끌어와 흥미롭게 연결하고 뒤섞는다.

여기에는 에이즈 (거짓) 양성 판정을 받고 지옥 문턱까지 다녀온 사람, 잘못된 알고리듬 때문에 파산한 기업가, 악의적 확률 해석 탓에 두 자녀 살해 누명을 쓴 엄마, 기하급수적 증감을 몰라 큰 재산을 날린 투자자, 시원찮은 로마의 수 체계와 전 세계가 채택한 12진법 시간 체계 등이 등장한다. 통계적 속임수에 관련된 윤리적 딜레마도 다루고, 선거와 팬데믹, 혐오, 인공지능 등 사회적 쟁점과 얽힌 수학도 살펴본다. 이 책은 세상 모든 주제에 관해 수학이 알려줄 것이 아주 많다는 사실을 자연스럽게 납득시킨다.

나아가 이 책은 쉽고 단순한 수학 규칙과 도구로 우리를 무장시켜준다. 괜찮은 식당을 선택할 가능성을 최대화하는 방법에서, 의사에게서 뜻밖의 진단 결과를 들었을 때 침착함을 잃지 않는 방법, 신문 헤드라인이 숫자 뒤에 감추고 있는 진실을 해독하는 방법에 이르기까지 크고 작은 삶의 힌트를 터득하게 될 것이다. 또한 커튼 뒤에 숨어 우리 일상을 좌지우지하는 기업의 알고리듬이 어떤 원리인지 따져보고, 치명적 질병의 확산을 막기 위해 취하는 조치에 수학이 어떤 역할을 하는지도 살펴볼 것이다.

이는 삶의 무기까지는 아닐지라도 방패는 거뜬히 되어준다. 반드시 이기는 것보다 틀리지 않는 편을 택하는 게 살아가는 데 있어 더 나을 수 있음을 보여주는 ‘최적화와 탐욕 알고리듬’에 관한 이야기가 6장에 등장하니 꼭 읽어보자. 최고의 방법을 도출하기 위해 다음 생까지 기다릴 수는 없는 노릇이니까.

〉〉 세상 만사의 패턴을 읽어내는 7가지 지적 탐험

; 밈이 퍼지는 방식에서 전염병 통제에 이르기까지

빅데이터 시대의 새로운 언어, 수학으로 생각하라

이 책은 모두 일곱 장으로 구성되었다.

1장 〈눈 깜짝할 사이에 변해버린 세상〉에서는 기하급수적 변화의 위력과 한계를 다룬다. 인터넷에서 밈이 확산하는 방식, 배아가 급격하게 성장하는 방식, 은행에 넣어둔 돈이 아주 느리게 불어나는 방식, 나이 들수록 시간이 더 빨리 흐르는 듯한 인식 등 일상적 현상에서 기하급수적 감각의 필요를 살핀다.

2장 〈암 진단을 받고도 침착을 유지하려면〉에서는 개인 유전자 검사나 각종 질병 선별검사, 비만 검사 등이 얼마나 정확한 동시에 부정확할 수 있는지를 살피며, 의학적 판단에 수학적 기준을 이용하는 일의 딜레마를 검토해본다.

3장 〈수학으로 만들어낸 유죄〉는 추리 소설처럼 흥미로운 한편 섬뜩한 법정에 선 수학 이야기가 펼쳐진다. 두 아이의 살해 혐의로 유죄를 받은 한 여성의 억울한 옥살이는 오류투성이 확률을 법정으로 끌어들인 탓이요, 수학에 대한 두려움이 사람들의 눈을 멀게 만든 탓이다. 여성은 상고 끝에 무죄로 석방되었고, 이 재판은 영국 사법부 역사상 최악의 오심으로 남았다. 여기서는 생태학적 오류, 검사의 오류, 독립성 가정의 오류 등을 살필 것이다.

4장 〈통계에 속지 않는 법〉은 미디어가 수학을 이용해 교묘하게 사실을 왜곡하는 방식에 관해 살펴본다. 상대적 수치를 썼을 때 일어나는 편향, 통계 수치를 교란하는 평균으로의 회귀 등을 감지할 수 있어야 한다.

5장 〈잘못된 자리와 잘못된 시간〉은 수 체계에 관한 재미난 에피소드들을 잔뜩 전해준다. 영국 도량형 탓에 일어난 크고 작은 사건들에서부터, 고대 문명에서부터 수 체계가 발달해온 과정과 그것이 우리 사고 체계에 미치는 영향을 흥미롭게 설파한다. 아이들이 몇이든 전쟁을 피하려면 간식은 12개들이로 사는 게 가장 좋다는 노하우는 덤.

6장 〈도무지 끝나지 않는 최적화〉에서는 구글 내비게이션이나 아마존 배송 경로와 같이 일상생활에서 만나는 알고리듬 최적화 사례들 뒤에 숨은 수학을 살펴본다. 자연에서 가장 유명한 알고리듬인 진화가 완벽이 아닌 맹목에 더 가까운 탐색을 한다는 사실은 우리에게 많은 것을 시사한다.

7장 〈팬데믹 시대, 수학은 어떻게 무기가 되는가〉에서는 마침맞게도 수리역학을 다루는데, 코로나19 시대를 예견한 듯한 통찰이 가득하다. 전염병에 걸렸을 때 집에서 쉬는 것이 실제 질병 확산을 막고 본인도 감염군에서 더 빨리 탈출할 수 있음을 수학적으로 확인해줌으로써, 기업들이 병가 정책에 꼭 반영해야 할 기준을 제시한다