20가지 수학 이야기 - 세계사가 재미있어지는 -

수학과 세계사가 만나면 어떤 일이 벌어질까?

▣ 소설 『삼국지연의』의 적벽대전에서 제갈량이 풀단 실은 배로 화살 10만 개를 얻은
이야기가 수학적으로 허구일 수밖에 없는 이유

수학과 세계사가 만나면 어떤 일이 벌어질까? 그 콜라보가 어떤 환상적인 명장면을 만들어낼지 궁금하다면 이 책 『세계사가 재미있어지는 20가지 수학 이야기』를 펼쳐보면 된다. 그 첫 장면을 너무도 유명한 나관중의 『삼국지연의』에 나오는 적벽대전의 ‘초선차전(草船借箭)’ 일화로부터 시작해보자. 제갈량이 풀단 실은 배 스무 척으로 조조군에게서 화살 10만 개를 얻어낸 그 일화 말이다. 적벽대전의 ‘초선차전’ 일화에는 어떤 수학적 원리와 비밀이 숨어 있을까?
중국을 대표하는 저명한 수학자인 저자는 풍부한 인문학적 소양을 발휘하여 세계사의 강에 자신의 주 무기인 수학이라는 그물을 던져 통찰력의 물고기를 낚아 올린다. 그는 우리가 당연하게 받아들이는 ‘초선차전’ 일화, 즉 제갈량이 적벽대전 전날 밤 풀단 실은 배 스무 척으로 조조군의 영채를 기습하여 기적적으로 화살 10만 대를 얻어낸 사건이 과연 수학적으로 가능한 일인지 치밀하게 분석한다. 차분히 따라가 보자.
제갈량이 활략하던 후한 말기, 이른바 명궁이 아닌 일반 병사들의 활쏘기 실력은 어느 정도였을까? 그들이 한 번에 목표물을 명중할 확률은 대략 열 번에 한 번, 즉 0.1을 넘지 않았다고 한다. 그야말로 십중팔구 목표물을 맞히지 못하고 빗나가게 된다는 의미다.
수학적으로, 일반 병사들이 쏜 화살이 목표물을 정확히 맞힐 확률은 0.1이고 실패할 확률은 0.9다. 두 번 연속 실패할 확률은 0.9×0.9=0.81이다. 이런 식으로 유추해보면 100번 모두 실패할 확률은 0.9(100)≒0.003이고 최소한 한 번 명중할 확률은 1-0.003=99.997퍼센트다. 100번 중에서 목표물을 최소 세 번 명중해야 하는 경우라도 그 확률은 98.41퍼센트로 상당히 높다. 이는 무엇을 의미할까? 결국 명궁 한 명이 많은 양의 화살을 쏘는 것보다 일반 병사 100명이 일제히 화살을 쏘게 하는 편이 더 효과적이라는 얘기다.
이제 이야기의 심장부인 ‘초선차전’ 사건의 한가운데로 들어가 보자. 적벽대전이 벌어지기 전날 밤, 제갈량은 풀단 실은 배 스무 척을 안개가 자욱한 강을 따라 조조군 영채 가까이 보냈다. 그러고는 군졸들에게 북을 치며 소란을 피우라고 명했다. 조조군은 안개 속에서 함성이 들려오는 방향으로 화살을 퍼부었다. 명중할 확률은 0.1에도 미치지 못했을 테고 중간에 다른 쪽 병사들이 활을 쏠 수 있도록 배를 백팔십도 돌려야 했다. 명중할 확률을 최대로 잡아 0.1이라고 가정해도 화살을 100만 개 이상 발사해야 한다. 당시 조조군 궁수는 1만 명 정도였으니 한 사람당 100발 넘게 쏴야 한다는 계산이 나오는데, 전문가들은 당시 화살통에 화살이 20~30개 들어갔으니 한 사람이 100발을 쏘는 건 불가능하다고 분석했다. 이는 한마디로 제갈량의 ‘초선차전’ 이야기는 허구에 가깝다는 의미다.

▣ 고대 인도의 재상 다히르는 자신이 체스 게임을 발명한 대가로 왕이
포상을 내리겠다고 하자 왜 매 칸마다 ‘제곱 승식’의 밀알을 요구했을까?

고대 인도의 역사의 한 페이지에도 재미있는 수학의 원리가 숨어 있다. 고대 인도의 왕 시람은 재상 다히르가 발명한 체스 게임을 배우자마자 완전히 매료되어 그 공로로 다히르에게 포상을 내리겠다고 했다. 처음에 겸양의 미덕을 보이며 정중히 사양하던 다히르는 잠시 생각하더니 말했다.
“폐하의 뜻이 정 그러하시다면 체스 판에 밀알을 좀 놓아주시지요.”
첫 번째 칸에는 1알, 두 번째 칸에는 2알, 세 번째 칸에는 4알 하는 방식으로 제곱 승식에 따라 밀알을 놓아달라는 요구였다. 왕은 그깟 밀이 뭐라고 상으로 달라는 거냐며 좀 더 큰 상을 말해보라고 요구했으나 재상은 겸손하게 그거면 충분하다고 말했다.
체스 판에는 칸이 64(8×8)개 있다. 한마디 덧붙이자면, 모든 체스 말은 장기 말처럼 교차점에 두는 것이 아니라 칸 안에 둔다. 이 등비급수에 따르면 20번째 칸에는 밀 한 포대를 놓아야 한다. 60번째 칸까지 가면 인도 전체의 밀을 다 가져와도 부족하고 64번째 칸에는 2의 63승에 해당하는 밀알을 놓아야 한다. 즉 18,446,744,073,709,551,615알이 필요하다. 결국 재상 다히르가 요구한 포상은 전 세계가 2,000년 동안 생산해야 하는 식량으로, 그야말로 상상을 초월하는 양이다.
이 이야기는 수학의 ‘기하급수적 성장’ 개념을 보여주는데, 이는 18세기 영국 경제학자 토머스 맬서스(Thomas Robert Malthus)가 제시한 인구론의 초석이기도 하다. 인구론은 주로 두 공리(公理)와 두 급수로 이뤄진다. 음식은 인류가 생존하는 데 필수고 성욕은 필연적이다. 이 둘이 현 상태를 유지하게 하는 두 공리다. 또 인구는 제약이 없을 경우 기하급수적으로 늘어나고 생산수단은 산술급수적으로 늘어난다는 것이 두 급수다.
인도 왕과 체스 이야기에서 가능한 결말은 재상이 계속 보상을 독촉할까 두려웠던 왕이 구실을 만들어 아예 그를 죽이는 것이다. 애초에 왕이 속임수에 빠진 원인은 그가 추상적인 숫자 연산, 특히 기하급수를 확실히 인지하지 못했고 막강한 권력이 그를 오만에 빠뜨려 눈에 보이는 게 없도록 만들었기 때문이다.

▣ 물소 가죽 한 장으로 원주민에게 나라를 세울 수 있을 만큼의 땅을 얻어낸
디도 여왕 일화에 담긴 수학적 원리는?

수학 분야의 한 기원이 카르타고의 시조 디도 여왕과 관련되어 있다는 사실을 아는가? 그리스 전설에 따르면 처음 카르타고에 발을 디딘 디도 여왕은 물소 가죽을 한 장 얻었다고 한다. 원주민은 그녀에게 물소 가죽으로 둘러싼 면적만큼의 땅을 주겠다고 약속했다. 현명한 여왕은 수행원들에게 명령해 물소 가죽을 가늘고 길게 잘라 넓은 면적을 둘러싸게 했고, 그 결과 반원을 얻었다. 만약 그 땅이 내륙 평원에 있었다면 이는 당연히 잘못된 판단이었을 것이다. 같은 길이로 원을 두를 경우 두른 면적은 반드시 반원보다 더 크기 때문이다. 이는 원의 면적과 원주만 계산해도 증명할 수 있다. 이것이 바로 변분법(變分法)의 기원 이야기다. 이 이야기의 또 다른 버전은 다음과 같다.
지중해 키프로스의 디도 여왕은 남편이 자신의 남동생 피그말리온에게 살해당한 후 수행원들과 함께 서쪽에 있는 아프리카 해안으로 도망쳤다. 여왕은 현지 추장에게 토지를 구매하고 그곳에 카르타고를 세웠다. 여왕과 추장은 토지구매합의서를 다음과 같이 체결했다.
“도시 크기는 한 사람이 하루 동안 쟁기질을 해서 낸 도랑으로 두를 수 있는 만큼의 면적이다.”
흥미롭게도 저자가 실제로 현지에 가서 확인해보니 지중해 해변에 카르타고 고성이 있었는데 박물관에 전시한 지형도 외형이 확실히 ‘반원’에 가까웠다고 한다.
뉴턴과 라이프니츠가 미적분을 발명한 이후 미적분은 끊임없이 발전해 다양하면서도 완전해졌다. 특히 함수 개념 심화로 미적분은 다른 분야의 학자들이 빠르고 광범위하게 응용했고 새로운 수학 분야를 형성했다. 심지어 미적분은 인문과 사회과학 분야에도 스며들었다. 그중 두드러진 현상은 수학과 역학의 관계가 그 어느 때보다 밀접해졌다는 점이다. 당시 수학자들은 대부분 역학자이기도 했다. 고대 동서양에 수학자이자 천문학자인 사람이 많았던 것처럼 말이다.
새롭게 떠오르는 수학 분야에는 상미분방정식, 편미분방정식, 변분법, 미분기하, 대수방정식 등이 있다. 많은 수학자가 이들 수학 분야를 확립하고 그 위에 미적분학이 더해져 해석학이라는 수학 분야가 등장했다. 해석학은 대수학, 기하학과 함께 근대 수학의 3대 학문으로 자리를 잡았으며 나머지 두 학문보다 더 발달했다.
변분법 탄생은 다른 수학 분야에 비해 더욱 극적이다. 언뜻 수학 분야가 아닌 것처럼 보이지만 본래의 뜻은 ‘변량의 미적분’으로 함수 변량을 연구하는 수학이다. 일반 미적분은 수의 변량을 처리한다. 현재 변분법의 응용 범위는 비누 거품부터 상대론, 측지선, 극소곡면을 거쳐 등주 문제에 이르기까지 매우 광범위하다. 등주 문제는 디도 여왕의 면적 최대화 문제를 포함한다.
디도 여왕의 토지구획 문제 외에 최속강하선 문제도 재미있다. 이는 동일한 평면이나 동일한 수직선상에 있지 않은 두 점 사이의 곡선을 구해 중력이 작용할 때만 질점이 한 점에서 다른 한 점까지 가장 빠른 속도로 미끄러지게 만드는 것이다. 이 문제는 이탈리아 물리학자 갈릴레이가 1630년 처음 제기했는데, 그는 답이 원호(圓弧)라고 잘못 생각했다. 1696년 스위스 수학자 요한 베르누이(Johann Bernoulli, 1667~1748)가 이 문제를 다시 제기했고 공개적으로 해답을 공모하면서 유럽 대수학자들의 주목을 끌었다. 뉴턴, 라이프니츠, 요한의 형 야코프 등이 여기에 참여했다.
최속강하선 문제는 특수함수의 극값을 구하는 문제로 귀결할 수 있다. 정답은 파선(Cycloid)이다. 원이 직선을 따라 회전할 때 원 위의 한 고정점이 지나는 궤적을 ‘파선’이라고 부른다. 외형이 원호나 포물선의 일부처럼 생겨 갈릴레이 같은 대가의 실수가 전혀 이상하게 보이지 않는다.

수학 세계사에 이토록 흥미진진한 스토리가?!

• 위대한 수학자 피타고라스, 대장장이가 쇠 두드리는 소리를 듣다가 ‘황금분할률’의 원리를 발견하다

• 물소 가죽 한 장으로 원주민에게 나라(카르타고)를 세울 수 있을 만큼의 땅을 얻어낸 디도 여왕 일화에 담긴 수학적 원리는?

• 고대 인도의 재상 다히르가 체스 게임을 발명한 대가로 왕이 포상을 내리겠다고 하자 매 칸마다 ‘제곱 승식’의 밀알을 요구한 까닭

• 나관중의 『삼국지연의』의 적벽대전에서 제갈량이 풀단 실은 배 스무 척으로 조조군에게서 화살 10만 대를 얻어낸 이야기가 수학적으로 허구일 수밖에 없는 이유

• 프랑스 황제 나폴레옹이 수학자를 특별히 총애한 까닭은?

• 피카소의 작품 〈아비뇽의 아가씨들〉은 그의 회계사 친구가 들려준 수학이론 ‘사차원 기하학’에서 영감을 얻어 창조한 것이라고?

• 전쟁 중 적군의 포로가 되어 감옥에서 끊임없이 샘솟는 영감의 도움을 받아 위대한 업적을 세운 수학자, 앙드레 뵈유와 제임스 스톡데일

• ‘오일러의 법칙’으로 유명한 수학자 오일러가 러시아 여제 4인에게 총애받은 이유는?

• 역사상 최고 천재의 한 명인 폰 노이만을 키운 것은 8할이 독특한 ‘점심시간의 가족 모임’이었다?  

지은이 : 차이톈신
저장성 타이저우에서 태어나 어린 나이에 대학교에 입학할 정도로 신동이었다. 산둥대학교에서 이학박사 학위를 받고 현재 저장대학교 수학대학에서 박사생 지도교수로 재직 중이다. 형소수(形素?, Figurate Primes)와 가승방정(加乘方程)이라는 개념을 제시했고, 신화림(新華林) 문제와 관련된 연구로 필즈상 수상자인 영국 수학자 앨런 베이커에게 ‘창의적인 아이디어’라는 찬사를 받았다.
지금까지 그는 30여 차례 국제문학제에 초청받았고 베이루트 나지 나만(Naji Naaman) 문학상(2013)과 카탁(Kathak) 문학상(2019)을 수상했다. 2015년에는 올해의 항저우 10대 혁신인물 중 한 명으로 선정되었다. 또 그
의 작품 『수학전기』가 중국 국가과학기술진보상(2017)을, 2018년에는 『수학간사(數學簡史)』가 오대유(吳大猷, 중국의 유명 물리학과 교수) 과학보급저작상 창작부문 가작상(2018)을 수상했다. ‘과학과 인류문명’ 커리큘럼이 국가교육성과상을 수상했고, 중국 CCTV 프로그램 〈낭독자(朗讀者)〉와 미국 아이오와대학교 국제저술프로그램(International Writing Program; IWP)에 초대받아 참석하기도 했다.
대학원 재학시절 우연히 찾아온 뮤즈에 시적 감성이 발동한 결과 지금까지 30여 권 넘는 시집, 수필집, 기행문, 전기, 사진집, 번역서와 학술 저서를 출간했으며 20여 개 언어로 번역되었다. 지은 책에 시집 『아름다운 점심』 『제네바 호수』, 수필집 『그녀를 가볍게 꼬집었다』『숫자와 장미를 가지고 여행하다』, 여행기 『미국, 하늘에 비행기가 날아다니다』『리우의 유혹 ? 라틴아메리카를 회상하며』, 사진집 『보는 것에서 발견하는 것까지』, 회고록 『나의 대학』 등이 있으며 『현대시 110수』『유람의 시』『명상의 시』편집을 주관했다. 그의 작품은 20여 개 언어로 번역되었고, 영어, 프랑스어, 스페인어 등으로 쓴 저작도 10여 종이나 된다.

옮긴이 : 박소정
서울에서 태어나 고려대학교 중어중문학과, 이화여자대학교 통역번역대학원 한중과를 졸업했다. 대학원 졸업 후 잡지와 논문 등을 번역하고 삼성, CJ 등의 기업체에서 중국어 회화를 강의했다. 현재 번역집단 실크로드에서 중국어 전문 번역가로 활동하고 있으며, 옮긴 책으로 『나에게 주는 10가지 선물』, 『1교시 철학수업』, 『심리죄 : 프로파일링』, 『당신의 재능이 꿈을 받쳐주지 못할 때』, 『결국 이기는 사마의』, 『식물학자의 식탁』 등이 있다.

서문

Ⅰ. 수학 이야기

1. 우임금의 치수부터 알브레히트 뒤러의 <멜랑콜리아>까지
 대홍수 전설 | 대우치수와 낙서 | 동양의 마방 플레이어 | <멜랑콜리아>를 그린 뒤러

2. 마르코 폴로와 아라비아 숫자의 여행
 영(0)과 인도 숫자 | 아라비아를 유람한 여행가 | 번역 시대와 비잔티움 | 마르코 폴로의 여행

3. 수탉, 암탉, 병아리 그리고 토끼
 당나라의 수학 교과서 | 수탉, 암탉, 병아리 | 중세 이탈리아 | 피보나치의 토끼

4. 황금분할과 오각별 이야기
 황금분할과 황금사각형 | 오각별과 정오각형 | 플라톤에서 케플러까지

5. 자전거 발명과 리만 기하학
 누가 일륜차를 발명했을까? | 자전거를 발명한 사람 | 신행태보와 로봇 | 리만의 비유클리드 기하학

6. 심오한 통계: 제갈량이 화살을 얻은 이야기부터 셰익스피어까지
 정치산술에서 통계학까지 | 초선차전은 가능한 일이었을까? | 가우스의 정규 분포 곡선 | 셰익스피어의 시문과 기일

7. 세계 최초 암호, 에니그마에서 튜링까지
 펠로폰네소스전쟁 | 오퍼레이션 리서치와 에니그마 | 레예프스키와 튜링

Ⅱ. 수학자 이야기

1. 최초로 이름을 남긴 수학자 탈레스
 밀레투스의 탈레스 | 명인의 눈에 비친 탈레스 | 다재다능했던 탈레스

2. 주인 집안 출신 조충지
 완원이 편찬한 『주인전』 | 조충지와 원주율 | 구의 면적과 대명력 | 지남차와 천리선

3. 다리를 만들고 싸움을 할 줄 알았던 진구소
 다리를 만들 줄 알았던 기상학자 | 싸움을 할 줄 알았던 수학자 | 중국인의 나머지 정리

4. 나폴레옹과 그가 아낀 수학자
 나폴레옹 보나파르트 | 우뚝 솟은 피라미드 | 프랑스의 뉴턴 | 황제의 절친한 친구

5. 황제, 여제 그리고 수학의 대가
 유클리드와 아르키메데스 | 2월과 로마의 통치자 | 오일러와 러시아 여제 4인

6. 결혼, 바스카라에서 라마누잔까지
 인도 왕과 체스 | 딸을 위해 책을 쓴 바스카라 | 천재 라마누잔 | 열 살 신부와 결혼하다

7. 폰 노이만의 가족모임과 훌륭한 스승들
 예리하고 민첩한 뇌 | 전형적인 유대식 교육 | 점심시간의 가족모임

8. 포로수용소, 면화점 그리고 석좌교수
 옥중에서 인재가 된 퐁슬레 | 소상인의 아들, 화뤄겅 | 직위를 능력 있는 사람에게 물려준 배로와 천젠궁

Ⅲ. 재미있는 수학 문제

1. 음양의 조화를 이룬 완전수 이야기
 완전수란? | 『기하학 원론』 | 니코마코스 | 메르센 소수 | 오일러의 증명 | 뤼카  —  레머 소수 판별법 | 완전수 문제 | 제곱 완전수

2. 이집트 분수와 디도 여왕
 이집트 분수 이야기 | 디도 여왕의 물소 가죽 | 톨스토이의 소설

3. 대칭수와 가쿠타니 추측
 회문수 또는 대칭수 | 황당하게 쏟아지는 우박 | 가쿠타니 추측의 일반화

4. 뷔퐁의 실험과 몬테카를로
 재미있는 바늘 실험 | 뷔퐁의 바늘 문제 실험 데이터 | 뷔퐁의 바늘 문제 증명 | 왕립식물원 원장 | 몬테카를로법

5. 공 쌓기 문제와 케플러의 추측
 탐험가 겸 작가 롤리 | 가정교사 해리엇 | 케플러의 눈송이와 추측

 후기
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