이런 수학이라면 포기하지 않을 텐데

지금까지 몰랐던 수학의 재미를 알았다!

문제가 쉽게 풀리는 짜릿한 수학 강의

수학을 포기하는 순간을 머릿속에 떠올려보자. 초등학교 때는 술술 풀리던 문제가 어느 순간 풀리지 않는다. 문제가 풀리지 않으니 곧바로 정답을 찾게 되고, 정답은 알았지만 과정을 스스로 따라가지 못해 비슷한 문제를 만나면 또 해결할 수가 없다. 점점 수학에 흥미가 떨어지고 끝내는 수학을 포기해버리고 만다.

현실이 이렇다 보니 수학은 선택받은 사람만 할 수 있다고 여기는 사람이 많다. 하지만 수학 역시 다른 과목처럼 부담 없이 다가가 배운 것을 문제에 적용하면 쉽게 해결할 수 있다. 여느 분야와 특별히 다른 부분이 없다. 그러나 배운 개념과 원리를 문제에 쉽사리 적용할 수 없는 이유는, 처음부터 성적을 매기는 용도로 만들어진 문제를 들이밀며 “이 문제를 바로 풀어내지 못하면 너는 수학에 재능이 없어!”라고 윽박질렀기 때문이다.

수학은 생각만큼 결코 어렵거나 딱딱하지 않다. 단지 글 대신 숫자와 도형으로 표현하는 방식에 익숙하지 않아 시간이 필요할 뿐이다. 천천히 개념을 익혀가며 소화시키면 수학을 포기할 이유도, 필요도 없다. 이제 단순한 문제 풀이와 공식 암기는 멈추고, 공부는 물론 일상에서 마주치는 문제까지 정확하게 이해하고 해결하는 도구로서의 수학을 자유롭게 활용해보길 바란다. 책을 펼치는 순간, 수학이라는 무기를 장착한 여러분의 문제해결력은 몰라보게 달라질 것이다.

수식 속에 가려진 수학의 본질을 만나다

그림과 스토리로 쉽게 이해하는 수학의 원리

학교에서 수학을 전혀 배우지 않은 사람은 없을 것이다. 하지만, 실제로 수학을 잘 안다고 말할 수 있는 사람 역시 거의 없는 것이 현실이다. 이 모순은 ‘수학은 문제 푸는 과목’이라는 생각이 뿌리 깊게 박혀 있기 때문이다. 학교에서는 오랫동안 변별력을 핑계 삼아 학생들을 줄 세우는 도구로 수학을 이용해왔다. 하지만 수학은 공식을 외우고 문제를 풀어 답을 내는 일보다, 생각을 논리적으로 정리하고 표현하는 일을 더 중요하게 여기는 과목이다.

이 책에는 분명 수학 공부를 할 때 배웠던 개념과 원리들을 정리하고 있지만, 학교에서 배우는 수학과는 다르게 느껴지는 부분이 많다. 그림과 이야기는 물론, 배운 개념과 원리를 적용해 수학적 사고력을 키워주는 퍼즐 등 다가가기 편한 소재로 수학의 ‘본질’에 한층 가까워질 수 있도록 도와준다. 수학이라는 단어만 들어도 몸서리치는 사람들을 위해 수학을 수식이 아닌 일상의 언어로 풀어냈다. 복잡한 수식을 걷어낸 수학이 생각보다 쉽고 매력적이라는 사실을 아는 순간, 수학 문제는 두려운 존재가 아니라 오히려 지적 호기심과 스트레스를 자유롭게 해소할 도구가 될 것이다.

음수, 무한, 함수, 기하학, 확률, 통계

2% 부족했던 개념을 이해하는 순간 수학의 진짜 재미가 보인다

“음수와 음수를 곱하면 양수가 된다.” 학교에서 수학을 조금이라도 배운 사람이라면 당연한 말이라며 고개를 끄덕일 것이다. 하지만, 왜 음수와 음수를 곱했는데 양수가 되는 것인지, 그 속에 숨은 음수의 성질을 정확하게 이해하는 사람은 많지 않을 것이다. 음수 자체는 ‘-15도의 맹추위’ ‘올해 경제 성장률 -2% 전망’ 등 일상 곳곳에서 자주 쓰인다. 하지만 음수와 음수를 곱했을 때 양수가 되는 실제 사례는 거의 없다. 예를 들어 빚(-)과 빚(-)을 곱하면 빚(-)만 더 늘어날 뿐 소득(+)이 되지 않는다. 따라서 음수×음수=양수를 이해하기 위한 다양한 방법이 시도되어 왔는데, 그중 하나로 수직선을 활용할 수 있다. 수직선을 그리고 오른쪽에는 양수를, 왼쪽에는 음수를 차례로 배열한다. 그러면 (-2)×(-3)은 -2를 -2의 반대 방향인 오른쪽으로 세 번 이동한 것과 같다. 따라서 답은 양수인 6이 된다.

함수 역시 가장 이해하기 어려운 수학 개념으로 꼽힌다. 하지만 사실 함수의 기본 원리는 매우 단순하다. 두 집합의 원소의 개수가 같으면, 두 집합은 남는 원소 없이 하나씩 짝을 지을 수 있는 관계가 된다. 이 단순한 개념을 ‘일대일 대응’이라고 하며 함수의 핵심 원리이기도 하다. 그러나 천재 수학자 가우스조차 이 간단한 일대일 대응을 쉽사리 인정하지 못했다. 그 이유는 자연수의 집합과 짝수의 집합 사이에 일대일 대응이 성립한다는 사실 때문이었다. 자연수의 절반이 짝수이므로 두 집합의 원소 개수는 같을 수가 없는데, 어떻게 일대일 대응이 성립하는 것일까? 이 문제는 무한을 활용한 집합론이 정립되면서 해결되었다.

이처럼 학교에서는 진도를 나가기 바빠 미처 다루지 못했던 수학 개념들을 자세히 뜯어보면, 그 안에는 수학의 기본 개념들이 서로 연결되어 있다. 이 개념들을 따라가다 보면 도저히 이해되지 않아 포기했던 문제들의 핵심 원리가 보이고, 재미와 호기심으로 가득한 수학의 본모습에 한층 가까이 다가설 수 있다.

저자 : 신인선

다른 이들이 쓴 글 읽기를 좋아하는 교사로, 고려대학교 사범대학 수학교육과를 졸업하고 원주 진광고등학교에서 수학을 가르치고 있다. 수학을 쉽고 재미있는 이야기로 풀어내는 일에 관심이 많아 〈내일신문〉(원주·횡성)에 수학 칼럼 ‘이야기로 풀어가는 수학 세상’을 연재했으며, 《70일간의 수학여행》을 감수했다. 평창 교육지원청 학습클리닉센터에서 기초학습지원단 봉사자들의 수학 학습지도역량 강화 담당 강사로 활동했다.

이 책은 수학이 그 자체로 흥미와 호기심의 대상임을 보여주기 위해 수업에서 소개한 내용들을 글로 정리한 것이다. 수식을 최대한 줄이고 일상의 언어로 풀어내면서, 수학이라는 단어만 들어도 움츠러들고 질색하는 사람들에게 지금까지 몰랐던 수학의 재미를 느껴보는 기회를 제공한다.

들어가며

1장: 0.999…는 왜 1이 되는 걸까?_교과서를 탈출한 수학 개념 찾아내기

2=1이라는 황당한 등식이 가능하다면_수학의 기본 성질

음수와 음수를 곱하면 왜 양수가 될까?_음수의 개념

0.999…=1을 증명하는 다양한 방법_순환소수와 무한

티끌을 모으면 정말 태산이 될까?_무한급수

셀 수 없는 무한을 세는 법_일대일 대응

두 점을 잇는 최단 거리는 직선이 아니다_비유클리드 기하학

2차원도 3차원도 아닌 도형이 있다?_프랙탈

수학, 자연을 설계하다_피보나치 수열

머리카락 개수가 같은 사람을 찾아라_비둘기 집의 원리

쉬어가기: 미적분과 3D 프린터

2장: 왜 음료수 캔은 모두 원기둥일까?_편의점에서 발견한 수학 원리

A0부터 B5까지, 종이 규격에 담긴 수학_닮음비 1

음식물은 꼭꼭 씹어 드세요_닮음비 2

음료수 캔이 사각기둥이라면?_입체도형의 부피와 겉넓이

GPS도 지도도 필요 없다_도로명 주소와 수학

바코드와 ISBN에 숨은 수학_오류를 방지하는 고유 번호

주민등록번호에 이렇게 많은 정보가 담겨 있었다니_주민등록번호와 수학

다툼 없는 분배, 수학에 맡겨주세요_공정한 분배

다수결은 과연 공정한 제도일까?_합리적 의사 결정

바보처럼 계산해야 답이 나온다?_비율을 나타내는 분수의 계산

가격이 싼 커피와 양이 많은 커피 중 어느 것을 사야 할까?_할인율의 함정

쉬어가기: 소수와 비대칭 암호

3장: 수학자가 《걸리버 여행기》를 읽고 독후감을 쓴다면?_수학자의 눈으로 책을 읽는 법

최선을 선택하지 못하는 이유_내시의 균형 이론

역설, 걸림돌일까 디딤돌일까?_제논의 역설

구글 입사에 도전해보자_수학적 추론

사람에게는 얼마만큼의 땅이 필요한가_평면도형의 넓이

직감, 신뢰해도 좋을까?_아리스토텔레스의 바퀴

보고서를 해석하는 올바른 자세_수학적 사고 연습

시간은 곧 돈이다_복리의 개념

기하급수적으로 증가한다는 게 무슨 뜻일까?_산술급수와 기하급수

쉬어가기: 수학적으로 글 읽기 연습

4장: 중산층은 단순히 중간 정도로 잘사는 가족일까?_보고도 속는 숫자의 비밀

여론 조사는 죄가 없다_표본의 중요성

최저 임금만 받아도 중산층이 된다니_평균의 함정

거짓말 탐지기를 수사에 도입해도 될까?_조건부 확률

로또 번호를 예측해보자_큰 수의 법칙

우연이 지배하는 일상_머피의 법칙

움직이지 않는 평균_평균으로의 회귀

새빨간 거짓말, 통계_통계의 함정

수학자도 헤맨 확률의 장난_몬티 홀 딜레마

쉬어가기: 수의 여러 가지 이름

플러스+ 풀이

참고 문헌