미적분의 쓸모 (증보개정판) - 보통 사람들도 이해하는 새로운 미래의 언어 -

“미적분의 본질을 꿰뚫는 책”

_최영기, 서울대학교 수학교육과 교수, 《이런 수학은 처음이야》 저자

과거를 적분하면 현재가 보이고

현재를 미분하면 미래가 보인다

세상에 변하지 않는 것은 없다. 행성의 위치나 속도뿐 아니라 사람도 변하고 세월도 변한다. 미적분은 이러한 세상의 변화를 설명하는 언어다. 미적분의 시각으로 보면 첨단 과학기술의 원리부터 자연현상, 사회 변화까지 선명하게 드러난다. 미분으로 세상의 순간적인 변화와 움직임을 포착하고 적분으로 작은 변화들이 누적되어 나타나는 상태를 이해할 수 있다.

예컨대 코로나 19 확진자 발생률을 미적분으로 파악할 수 있다.

일일 확진자는 합쳐지는 양이고 누적 확진자는 합쳐진 결과량이다. 일일 확진자를 모두 합치면 누적 확진자가 되고 누적 확진자의 변화율은 일일 확진자가 된다. 일일 확진자는 하루하루 변동이 심하지만 누적 확진자는 꾸준히 증가한다. 일일 확진자는 증가 속도를 나타내는 미분값에 해당하며, 누적 확진자는 일일 증가분을 적분한 값에 해당한다. 한국에서는 코로나19 일일 확진자 수가 갑자기 증가해 최댓값을 보이다가 2021년 3월 말에 들어서면 일일 확진자 수는 여전히 높은 편이지만 변화 기울기는 완만해진다. 물론 누적 확진자 수가 꾸준히 증가하는 것은 변함이 없다. _Ⅵ. 작은 움직임을 모으면 변화의 축이 보인다

적분한 값인 결과량을 통해 현재의 누적 확진자를 파악하고, 미분한 값인 변화량(기울기)를 통해 내일의 확진자 발생률을 예측할 수 있다. 새로운 변수가 등장하지 않는 한, 한 달 후의 확진자 발생률까지 예측할 수 있다. 기후 변화, 주식 시장, 아파트 가격의 추세도 마찬가지다. 다시 말해 과거를 적분하면 현재를 이해할 수 있고, 현재를 미분하면 미래를 예측할 수 있다. 미적분을 이해한다는 것은 변화를 읽는 일이다.

미적분으로 열린 새로운 시대, 미적분으로 예측하는 미래

변화를 읽는 힘을 길러주는 수학 교양서

인간이 미적분을 이해하지 않았더라면, 그 쓸모를 제대로 이용할 줄 몰랐다면 오늘날과 같은 시대는 상상하기 어려웠을 것이다. 이 책은 그러한 미적분을 이용해 미래를 읽고 움직인 사람들의 이야기를 담았다.

스페이스X의 로켓 추진체 재활용 사업은 그동안 많은 실패를 겪고 드디어 성공을 거두기 시작했다. (중략) 무엇보다도 마지막 순간에 로켓 추진체를 안전하게 착륙시키는 기술이 중요한데, 바로 하강속도 제어와 자세 제어 기술이다. 질소 분사 장치가 소량의 질소를 수평으로 분사하여 미세한 회전력을 만들어내면, 일종의 소형 날개인 그리드 핀이 각도를 조정해서 방향을 미세하게 조절한다. 모두 회전운동을 미분적으로 파악해야 가능한 일이다. _Ⅰ. 혁명의 시작, 순간 속도를 계산하라

인공신경망 모델은 기존의 미분방정식 모델과 달리 과학법칙이나 규칙이 아니라 현실 데이터에 기반한 모델이다. 하지만 인공신경망의 알고리즘은 손실함수를 최소화하는 과정에서 미분의 개념을 사용한다. 앞서 이야기한 뉴턴의 법칙 또는 질량보존의 법칙 등 물리법칙에 기반하여 수식화된 미분방정식을 이용하지만 않을 뿐, 인공신경망을 엄청난 양의 데이터로 학습시키는 데 미분의 개념은 필수불가분의 관계다. _Ⅲ. 인공지능이 빅데이터를 학습하는 방법

해일이 치는 장면이나 물이 튀어오르는 유동과 같이 서로 충돌하거나 물체 표면과 상호작용하는 불규칙한 운동을 정확하게 모사하기 위해서는 오일러 방법보다 흩어지는 입자들을 따라가면서 모사하는 라그랑주 방법이 더 적합하다. 디즈니 영화 <겨울왕국>에서는 이와 관련된 수학 모델을 이용해 생동감 있는 눈의 움직임을 표현했다. 주요하게 사용된 MPM 알고리즘은 입자를 개별적으로 보지 않고 연속체로 해석하는데, 눈이 녹은 정도에 따라 눈이 가지는 물성의 변화를 고려하기에 최적의 모델이다. _Ⅴ. 디즈니 영화가 전 세계를 사로잡는 법

또한 적분의 원리를 통해 인체에 칼을 대지 않고도 염증 및 암의 위치를 알 수 있게 되었고, 한 줄의 미분방정식을 통해 애니메이션 제작사 픽사는 전 세계를 사로잡았다. 이 밖에도 도로 설계, 데이터 압축 등을 통해 엿본 미적분의 쓸모는 무궁무진하다. 변화의 최전선에는 수학의 꽃 미적분이 있다.

오늘날 미적분의 쓸모는 고속연산이 가능한 컴퓨터를 만나 더욱 확장되고 있다. 훨씬 똑똑해질 인공지능부터 무인자동차, 게임, AI펀드 등 미적분이 우리에게 선사할 미래는 예측 불가능하다. 이렇게 급변하는 사회에서 미적분을 이해하는 것이야말로 새로운 교양이 아닐까.

이제는 미적분 수식을 풀 필요가 없다

미적분으로 사고하는 것이 중요하다

그동안의 미적분 교양서는 ‘미적분을 얼마나 쉽게 이해하고 풀 수 있는가’에 초점이 맞춰져 있었다. 《미적분의 쓸모》는 다르다. 이 책은 수학의 쓸모에 눈 뜬 사람들 그리고 여전히 ‘계산’이라는 말만 들어도 머리가 지끈지끈한 사람들도 쉽게 읽고 이해할 수 있는 미적분 활용법을 담았다. 무엇보다 도통 읽기조차 어려운 수식이 보이더라도 직접 풀 일이 없도록 했다. 반갑게 들릴지는 모르겠지만, 미적분 계산은 너무 복잡해서 컴퓨터에 맡길 수밖에 없는 것이 현실이다.

CT의 적분 원리를 알아보기 위해서 단순화된 신체 단면을 생각해보자. 신체를 4X4의 격자로 나누었을 때 뼈(2)와 장기(1)가 (그림과 같이) 분포되어 있다고 가정하고 광선을 신체의 네 방향으로 투과하면 네 장의 필름을 얻을 수 있다. 필름상에 나타난 영상을 사이노그램이라 한다. 사이노그램은 광선 방향으로 합산된 광량의 적분 결과를 보여준다. 여기서 네 장의 사이노그램에 나타난 적분 결과를 수학적으로 계산해서 신체 내부의 16개 격자값 f(x,y)를 알아낼 수 있다. 쉽게 얘기해서 16개의 방정식을 풀어 16개의 미지수를 계산하는 과정이라 생각하면 된다. _Ⅵ. 작은 움직임을 모으면 변화의 축이 보인다

이외에도 인공지능이 빅데이터를 학습하는 방법인 경사하강법을 설명할 때는 산에서 내려오는 일에 빗댄다거나 미분의 기초 개념을 설명할 때는 과속방지카메라를 이용하는 등 일상 속 사례를 끌어와 최대한 이해하기 쉽게 설명한다. 또한 알아야 할 수식이 있다면 최대한 그래프와 다양한 그림자료를 통해 직관적으로 이해할 수 있도록 해놓았다.

이 책은 평생 미적분을 다뤄온 공학자가 썼다. 미적분 활용의 최전선에 있는 저자가 금융공학, 의료공학, 항공우주공학, 천체물리학 등의 최신 경향들과 함께 일상 속에서 보통 사람들도 미적분을 어떻게 활용할 수 있는지 보여준다. 2020년 교양과학 베스트셀러였던 《수학의 쓸모》와 마찬가지로 수학적 사고가 얼마나 쓸모 있는지 보여주는 책이다. 그동안 미적분에 막연한 동경과 두려움을 가진 채 제대로 그 쓸모를 만나보지 못했던 사람에게 이 책을 추천한다. 세상의 변화를 읽는 눈을 가지게 될 것이다.

한화택

국민대학교 기계공학부에서 30여 년간 ‘공대생’들을 가르쳐온 ‘공대 교수님’이다.

공학이란 있는 것을 탐구하는 것을 넘어 없는 것을 창조하고, 정답 찾기를 넘어 수많은 해결책을 만들어가고, 그러기까지 사람과 사회에 끊임없이 관심을 기울이며, 계속해서 삶에 응용해가는 융합학문이다. 하지만 많은 공대생들이 주위를 유연하게 둘러보지 못하고 전공서적에만 파묻혀 있다. 이 모습이 늘 안타까웠던 저자는 학생들이 딱딱하고 어려운 공학을 조금이라도 재미있고 쉽고 유연하게 받아들일 수 있도록 ‘이론+응용+재미’의 3박자를 갖춰 강의해왔다.

아울러 우리 주위 모든 것들이 공학임에도 불구하고 공학이 무엇인지 잘 모르는 일반 사람들에게 공학이란 이렇게 재미있고 매력적인 학문임을 보여주고 싶었다.

강의실에서의 내공과 평소의 바람을 담아 《공대생도 잘 모르는 재미있는 공학 이야기》를 출간한 한화택 교수는 이 책의 뒤를 이어 《공대생이 아니어도 쓸데있는 공학 이야기》를 출간했다. 또한 미래 사회를 준비하기 위한 공학 전도사로서 청소년을 위한 《10대에게 권하는 공학》를 출간하고, 어린이를 위한 《너도 엔지니어가 되고 싶니》를 번역했다.

한화택 교수는 서울대학교 기계공학과를 졸업한 후 동대학원에서 공학석사, 미국 미네소타대학교에서 공학박사 학위를 받았다. 마르퀴스 후즈 후Marquis Who’s Who, 국제인명센터International Biographical Center, 미국인명정보기관American Biographical Institute 등 3대 세계인명사전에 모두 등재되어 있으며, 미국 기술사 PE 자격증과 대한상사중재원의 중재인으로 등록되어 있다.

국민대학교 공학대학 학장과 대한설비공학회 회장을 지냈으며, 현재 미국 냉동공조학회인 ASHRAE의 펠로우, 한국공기청정협회 편집위원장, 범부처 합동사업 추진위원장 등으로 활동하고 있다.

그밖에 지은 책으로 《미적분의 쓸모》, 《실내환경학개론》, 《기계계측》, 《창의융합 공학콘서트》, 《공기청정 편람》, 《Fluid Dynamics, Computational Modeling and Applications》 등이 있고, 옮긴 책으로는 《공기조화 및 냉동》, 《유체역학》, 《열전달》 등이 있다.

들어가며

세상의 변화를 이해하고 미래를 예측하는 언어, 미적분·005

I. 혁명의 시작, 순간 속도를 계산하라: 가속도·011

세상에 움직이지 않는 것은 없다·015│세기의 발견과 가속도의 관계·017│물리학자인 뉴턴은 왜 미분을 고안했을까?·020│도로의 무법자를 잡는 미분·029│뛰는 캥거루 운전자, 그 위를 나는 미분·034│통과 지점은 중요하지 않다, 새로운 가속도 측정법·036│가속도의 법칙으로 떠나는 우주여행·040│스페이스X의 성공 비결, 회전운동과 미분·045

미적분이 만든 미래 │새로운 배송시대의 도래, 드론을 제어하라·050

II. 자연의 곡선을 구현하기 위한 인간의 언어: 기울기·059

극한과 무한의 역사·063│한계가 없는 수를 설명하는 미적분학·068│기울기로 이해하는 미분·071│도시를 연결하는 곡선 기하학·075│세상을 구성하는 나선의 종류들·080│자연의 아름다움을 담아내는 곡선 디자인·084

미적분이 만든 미래 │자연의 곡선을 그리는 컴퓨터 회화, CG·088

III. 인공지능이 빅데이터를 학습하는 방법: 최적화·093

현실적인 타협점을 구하라·096│최적화를 어렵게 만드는 조건, 다변수·102│아마존과 인공지능의 연결고리, 최적화·105│복잡한 현실을 반영한 모델, 인공신경망·110│인공지능을 학습시키는 최적화 방법, 경사하강법·115│우리는 언제 만능 AI 비서를 만나게 될까?·123

미적분이 만든 미래 │인공지능이 발달할 수 있었던 또 다른 요인들·127

IV. 작은 움직임을 모으면 변화의 축이 보인다: 기하학·131

원의 면적을 구하는 고대 수학·134│특명, 코로나 확진자 발생률을 파악하라·141│적분을 활용한 오늘날의 측정 방법들·147│적분이 이끈 의학 발전, CT 촬영·155

미적분이 만든 미래 │대용량 데이터 압축이 가능해진 비결, 푸리에 변환·162

V. 디즈니 영화가 전 세계를 사로잡는 법: 나비에-스토크스 유동 방정식·171

유체 변화를 가장 잘 표현한 방정식·175│해가 없는 방정식을 활용하라! 전산유체역학 ·179│유동 방정식을 활용한 수학자, 오스카상을 받다·183

쓸모 있는 미적분 개념 │자연현상을 설명하는 미분방정식들·188

Ⅵ. 우리는 어떤 미래를 향해 나아가고 있는가?: 미적분의 예측하는 힘·197

한계효용, 가장 만족스러운 결과가 나오는 순간·199│재난지원금을 어느 계층에 지급해야 효용을 극대화할 수 있을까?· 201│미래는 어떻게 움직이는가·203│미적분으로 이해하는 경제의 흐름·210 │내 미래자산은 언제 2배가 될까? 근사법·219│단타 vs 장투, 미적분이 알려주는 안전한 투자 전략·224

쓸모 있는 미적분 개념 │미적분으로 읽는 ‘인생 곡선’·236