유클리드기하학 문제해결의 기술

​닮음과 합동, 정삼각형과 정사각형에서 피타고라스의 정리까지

최소 지식으로 최대 아이디어를 만드는 고대 그리스의 수학적 사고법

★★★★CMS 에듀·㈜크레버스대표 이충국 추천

★★★★현우진수학연구소 소장 서의동 추천

★★★★경기과학고등학교 수학 교사 박재희 추천

우리가 수학을 배우는 이유는? 문제를 해결하기 위해서다! 《유클리드기하학, 문제해결의 기술》은 합동, 회전, 대칭, 평행, 닮음이라는 유클리드기하학의 강력한 무기를 소개하고 저자가 엄선한 153개 문제를 직접 풀게 하여 문제해결력과 스스로 생각하는 힘을 성장시킨다. 고대 그리스인들은 땅을 측량하고 집을 짓기 위한 실용적인 목적을 위해 현실과 맞닿아 있는 평면도형을 다루는 유클리드기하학을 활용했다. 이 책은 한정된 지식으로 수많은 문제를 해결한 고대 그리스의 수학을 통해 《수학, 생각의 기술 UP》에 이어 학생과 어른 모두에게 수학의 놀라운 재미와 유용성을 일깨워준다.

고대 그리스에서 한정된 지식으로 위대한 발전을 일궈낼 수 있었던 이유는?

정답의 틀을 깨고 다양한 가능성을 발견하는 고대 그리스의 수학, 유클리드기하학

수학을 잘하려면 어떻게 해야 할까? 대부분의 학생들은 선행학습으로 진도를 빼고 모범 답안을 외우며 수학을 공부한다. 하지만 그렇게 공부하는 학생들은 수학에 흥미를 붙이지도 못할뿐더러 조금만 패턴에서 벗어난 문제가 나오면 풀지 못한다. 계산과 암기보다 생각과 이해가 우선이라는 사실을 잊은 결과이다.

《유클리드기하학, 문제해결의 기술》은 기원전 300년경의 수학인 유클리드기하학을 통해 잃었던 수학적 사고력과 문제해결력을 키워주는 책이다. 고대 그리스에서는 집을 짓고 땅을 측량하는 등 실용적인 목적으로 수학이 필요했기에 선을 긋고 도형을 그려서 각도나 길이 등을 구하는 기하학이 수학의 대부분이었다. 한정된 지식으로 위대한 문명을 일궈낸 고대 그리스인의 사고법으로 수학의 본질을 일깨울 수 있다는 것이 이 책의 핵심이다. 유클리드기하학 문제를 풀다 보면 매일 마주하는 일상의 문제까지 해결할 수 있는 실마리가 보인다. 카이스트 출신 수학 박사이자 창의력 컨설턴트인 저자 박종하는 수학 분야 스테디셀러 《수학, 생각의 기술 UP》에 이어 이 책에서 ‘수학은 암기가 아닌 생각’이라는 사실을 다시 한번 증명한다.

지식이 없어도 OK! 개념을 몰라서 못 푸는 문제는 없다

‘아이디어의 정수’만을 꾹꾹 눌러 담은 153개 문제로 배우는 기본 도형 지식과 사고법

유클리드기하학은 ‘동위각은 같다’라는 간단한 전제에서 시작한다. 이 명제를 다양한 상황에 적용하여 문제를 해결해나가는 것이 바로 유클리드기하학이다. 이처럼 유클리드기하학 문제는 최소 지식만으로 풀 수 있는 것이 가장 큰 특징인데, 이 책에서 소개하는 문제 역시 초등학교 4학년 수준의 수학 지식만 있으면 충분히 즐길 수 있다. 저자는 1,000개가 넘는 유클리드기하학 문제 중 아이디어를 최대로 활용하는 엑기스 문제 153개를 뽑아 이 책에 실었다. 이 문제들만 잘 풀 수 있다면 수능의 도형 문제는 손대지 않고도 풀 수 있다는 건 과언이 아니다.

만약 초등학교 4학년 수준의 수학 지식이 없다고 해도 걱정할 필요는 없다. 1부에서는 문제를 푸는 데 필요한 최소한의 지식을 쉽고도 상세하게 설명한다. 유클리드의 공리부터 삼각형, 사각형, 원의 특징까지 꼭 알아두어야 할 도형에 관한 모든 기본적인 성질이 담겨 있다. 2부에서는 본격적으로 유클리드식 사고법을 탐구한다. 잘 모르는 것을 익숙하게 아는 것으로 나누거나 그 관계를 파악하는 등 수학 포함, 모든 문제에 적용 가능한 사고법을 알려준다.

일상의 복잡한 문제까지 해결하는 유클리드기하학, 문제해결의 기술

유클리드처럼 점을 잇고, 선을 잇고, 도형을 붙이고 자르고 뒤집어라!

3부에서는 1부와 2부에서 살펴본 기본 유클리드기하학 지식과 유클리드식 사고법을 바탕으로 문제해결의 기술을 크게 7개로 나눠 제시한다. 좋은 성적은 물론, 일상의 문제까지 해결할 수 있는 비밀 무기를 얻어가보자.

• 꼼수의 기술: 수학 공부법 중 하나는 모범 답안을 달달 외우는 것이다. 하지만 모범 답안만이 정답은 아니다. 다양한 방법으로 문제를 풀면 풀수록 수학 실력이 향상된다. 특히 편법처럼 보이는 꼼수 풀이를 많이 하다 보면 수학적인 센스가 늘어난다.

• 상상의 기술: 유클리드기하학의 매력은 문제에 제시되지 않은 것을 상상할 때 드러난다. 대부분의 문제는 전체 상황의 일부만 주어지기에, 연장선이나 보조선을 그으며 상황을 약간 확장해보는 것만으로도 문제해결의 아이디어가 얻어지곤 한다.

• 전환의 기술: 다른 관점으로 바라볼 때 풀리지 않던 문제의 실마리가 보인다. 실제로 고개를 돌리거나 문제를 옆으로 돌리고, 때로는 뒤집어서 보면 해답을 찾을 수 있다.

• 찾기의 기술: 우리에게 익숙한 도형을 찾으면 문제가 해결되는 경우가 많다. 유클리드기하학 문제의 경우 (30°, 60°, 90°) 직각삼각형과 (45°, 45°, 90°) 직각삼각형이 핵심 열쇠다.

• 조작의 기술: 아이디어가 떠오르기만을 수동적으로 기다리기보다는 적극적으로 문제에 개입해야 문제가 해결된다. 특히 특정한 부분을 오려서 적당한 위치에 붙여보는 조작이 필요하다. 내 손으로 직접 종이를 만져가며 조작하면 문제를 보는 안목도 키울 수 있다.

• 단계의 기술: 전체적인 상황을 고려한 뒤 구체적으로 하나하나 순서를 정해서 문제를 해결해나가야 한다. 거시적인 방법으로 문제에 접근하겠다는 생각인 전략이 필요한 것이다. 겁먹지 말고 문제를 조각조각 나눠보면 풀리지 않던 문제도 풀린다.

• 파악의 기술: 문제를 풀 때 필요한 정보를 모두 수집해야 한다. 정보가 많으면 많을수록 더 쉽고 빠르게 문제를 해결할 수 있다. 손으로 가장 먼저 해야 할 일은 필요한 정보를 문제에 표시하는 것이다. 수학 문제는 눈이 아니라 손으로 푸는 것이라는 사실을 잊지 말자. 

박종하

박종하창의력연구소 대표, 창의력 컨설턴트.

‘복잡하고 어려운 것을 쉽게, 뻔한 내용을 흥미롭게’ 전달하는 것이 목표인 창의력 선생님. 고려대학교 수학교육과를 졸업하고 KAIST에서 수학과 석·박사 학위를 받았다. 수학 박사 출신으로 경영이나 자기계발에 관한 글을 쓰고 강의를 하는 독특한 경력을 갖고 있다. 산업교육 강사이며 자기계발서 작가로서 일반 기업체나 공공단체에서 성인들에게 창의성, 문제해결, 변화, 혁신 등의 주제로 강의를 하고, 관련된 책을 쓰며 사람들과 소통하고 있다. 삼성전자, PSI컨설팅, 이언그룹 등에서 일했으며 현재는 박종하창의력연구소를 운영하고 있다.

저서로 《수학, 생각의 기술 UP》《뜻밖의 수학》《2단계 글쓰기》《생각 실험》《다르게 생각하는 연습》《틀을 깨라》《아프리카에서 온 암소 9마리》 등이 있다. 역서로 《스탠퍼드 수학공부법》《생각을 바꾸는 생각》《왜 나는 눈앞의 고릴라를 못 보았을까?》 등이 있으며, 《뇌가 섹시해지는 모스크바 수학퍼즐 세트》등을 감수했다. 

프롤로그: 왜 유클리드기하학인가?

수학의 역사｜유클리드기하학의 재미｜논리적인 생각과 창의적인 생각

1부 최대 아이디어를 위한 최소 지식

1장 자신감이 기본이다

자신감과 적극적인 태도가 필요하다｜능동적이고 적극적으로 조작하기｜상상력을 자극하기｜내가 선생님이라면? 가정하기

2장 위대하고 절대적인 유클리드기하학의 증명

유클리드가 확립한 수학의 전통, 증명｜유클리드의 공리

3장 기하학의 시작, 닮음과 합동

인류 최초의 수학자 탈레스｜닮음과 합동을 활용하는 법｜탈레스는 피라미드의 높이를 어떻게 구했나

4장 가장 단순한 도형, 삼각형

삼각형의 넓이를 구하라｜계산보다 이해가 먼저

5장 문제해결의 열쇠, 이등변삼각형

두 변의 길이와 두 밑각의 크기가 같은 삼각형｜꼭 기억해야 할 이등변삼각형의 성질｜임의로 이등변삼각형 만들기

6장 넓이 문제의 핵심, 사각형

도형의 넓이란?｜문제해결에 필요한 네 가지 사각형

7장 완벽한 도형, 원

기하학을 모르는 사람은 들어오지 마시오｜2,200년 전 원주율을 계산한 아르키메데스｜완벽한 대칭을 이루는 원｜원과 직선이 만날 때｜점에서 원으로 선 긋기｜중심각과 원주각｜원에 내접하는 삼각형과 사각형

2부 아이디어를 찾는 유클리드식 사고법

8장 비율로 생각하기

합리적인 수, 유리수｜익숙한 비율 찾기

9장 나누어 생각하기

잘 모르는 것을 아는 것으로 나누기｜나누면 답이 보인다

10장 아는 도형 찾기

익숙한 것에서 출발하기｜문제 안에서 찾기

11장 익숙한 공식 적용할 곳 찾기

가장 중요한 수학 공식｜도형의 닮음과 피타고라스의 정리｜피타고라스의 정리를 증명하는 여러 가지 방법｜계산이 아닌 기하학으로 증명하기

12장 특별한 직각삼각형 찾기

두 가지 특별한 직각삼각형｜정삼각형의 넓이 활용하기｜특별한 직각삼각형 찾기｜원과 직각삼각형

13장 계산하기와 상상하기

무턱대고 계산하지 마세요｜개념과 계산이 앞서면 상상이 가로막힌다｜계산도 잘하고 상상도 잘하는 법

3부 정답의 틀을 깨는 문제해결의 기술

14장 꼼수의 기술

모범 답안은 없다｜센스를 발휘하는 꼼수 풀이

15장 상상의 기술

더 넓은 부분을 상상하기｜가설과 검증

16장 전환의 기술

유연하게 생각하기｜돌리고 뒤집어서 다른 시각에서 보기

17장 찾기의 기술

유클리드기하학, 이것만 알아두자｜특별한 도형만 찾는다면 풀지 못할 문제는 없다

18장 조작의 기술

적극적으로 문제에 개입하기｜문제의 조건 살펴보기

19장 단계의 기술

전체에서 부분으로｜공통인 부분 찾기

20장 파악의 기술

주어진 정보를 필요한 정보로 바꾸기｜쉽고 단순하게 문제에 접근하는 법｜각도로 길이와 넓이를 구하기

에필로그: 유클리드기하학은 재밌다