피타고라스의 정리

수학과 현실 세계의 절묘한 산물 ‘피타고라스 정리’
“수학은 도대체 무엇인가요? 왜 배워야 하지요?”
초·중·고 12년 동안의 정규 교육 과정에서 수학을 배우고도 이 질문에 제대로 대답하는 사람이 거의 없다. 학교를 졸업하고 나면 더하고 빼고 곱하고 나누는 사칙연산 외에는 수학을 써먹을 일도 거의 없다. 수학은 과연 ‘실제’ 세계와 동떨어져 있는 것일까?
이 책의 저자는 수학의 본질을 “패턴과 구조 및 질서, 그리고 관련 없어 보이는 대상 사이의 연관성을 찾는 것”이라고 설명한다. 다시 말해 지상이든 천상이든 세상의 만사가 복잡하게 얽혀있다는 전제 아래 숫자로 그 관계를 풀어내는 게 수학이라는 것이다. 저자의 주장대로라면, 수학은 우리의 실생활에 뿌리를 두고 인간의 외연을 넓혀가는 동력 그 자체이다.
a2+b2=c2. 우리가 흔히 ‘피타고라스 정리’라고 부르는 이 공식은 메소포타미아 대평원의 농경지에서 나왔다. 바빌로니아의 세리들이 들판의 면적과 길이를 정밀하게 측정해 과세 자료를 구하려다 착안한 것이다. 여기에서 도형의 넓이와 길이의 관계를 연구하는 기하학이 탄생한다. 바빌로니아인들은 이를 점토판에 새겨 오늘날 우리에게 전하고 있다.
경위야 알 수 없지만, 이 공식에 피타고라스의 이름이 붙어 바빌로니아인들보다 무려 1천 년 후에 살았던 피타고라스가 영화를 톡톡히 누리게 된다. 피타고라스는 대장장이가 두드리던 두 개의 철판에서 울려 퍼지는 소리가 서로 다르다는 사실을 알아채고 그 소리의 높낮이를 숫자의 비율로 설명하고자 했다. 물리 현상을 숫자로 표기하려는 인류 최초의 시도였다는 점에서 그를 높이 평가할 만하다. 피타고라스는 더 나아가 숫자가 우주를 지배한다는 우주론의 신비에 빠지게 된다. 그가 숫자로 세상의 모든 것을 설명하려 들면서 여러 도형의 상호관계를 연구하다 세 변의 길이가 모두 정수인 직각삼각형을 찾아낸 것은 우연이 아닐 것이다. 다만 이미 바빌로니아인들이 알고 있던 지식에 뒷북을 쳤거나 도용한 게 아닌가 하는 의문은 남는다.
중국 고대의 수학책 《주비산경(周?算經)》이나 인도의 수학책 《슐바수트라》에서도 기둥의 높이나 사각형의 넓이를 구하는 방법을 설명하면서 ‘피타고라스 정리’와 같은 원리를 언급하고 있다. 피타고라스 정리의 기원이 생각보다 훨씬 오래된 것임은 분명하다.

아름답지는 않지만 매력적인 a2+b2=c2
지난 2004년, 물리학 세계(Physics World)라는 잡지는 수학과 과학에서 가장 아름다운 방정식 20개를 골라달라고 독자들에게 요청했다. 그 결과 1등은 오일러 공식 eiπ+1=0, 2등은 맥스웰의 4가지 전자기장 방정식, 3등은 뉴턴의 제2 운동법칙 F=ma였고, 피타고라스 정리 a2+b2=c2은 4등에 그쳤다. 수학자들은 흔히 대칭성이 돋보이는 방정식을 아름답다고 말한다. 피타고라스 정리는 그런 면에서 높은 평가를 받지는 못한다.
그럼에도 피타고라스 정리의 기본 형식 a2+b2=c2은 수학 전반에 걸쳐 두루 사용되고 있다. 그만큼 이 피타고라스의 항등식은 매력적이라서 수많은 수학 천재들의 영감을 자극하며 대수학, 정수론, 삼각함수, 미적분학, 확률론 등으로 수학의 지평을 넓혀 왔다. 오늘날에도 피타고라스 정리를 새롭게 증명하며 세상사를 숫자와 공식으로 표현하려는 다양한 시도가 펼쳐지고 있다. 피타고라스의 불후의 역작으로 전해져 오는 이 정리가 지난 4천 년 동안 어떻게 진화해왔는지 살펴본다면 그 경이로움에 새삼 놀라지 않을 수 없다.

유클리드, 아르키메데스, 케플러, 뉴턴, 데카르트, 그리고 아인슈타인까지
피타고라스 정리가 문헌에 처음 기록된 것은 기원전 300년경에 유클리드가 펴낸 《기하학 원론》에서다. 그가 수학 교과서의 모범으로 여겨지는 이 책에서 피타고라스 정리를 증명하는 방법을 소개한 덕분에 이후 수많은 증명법이 만들어지고 온 세상으로 퍼져나가기 시작했다.
‘유레카’로 유명한 아르키메데스는 다양한 기하학 도구를 만든 과학자로 알려져 있지만 그의 가장 위대한 업적은 수학에 있었다. 포물선 아래의 넓이를 구하고 수많은 나선의 성질도 그가 발견했다. 특히 피타고라스 정리를 응용해 π의 근삿값을 아주 정확하게 구해 현대 적분학의 단초를 제공하게 된다.
암흑시대였던 중세에도 피타고라스 정리의 위력은 여전했다. 프로클루스와 이븐 쿠라를 비롯한 당대의 수학자들이 고대의 수학책을 필사하고 편집하면서 피타고라스 정리의 증명을 발전시켜 나갔다. 위대한 천문학자 케플러는 마지막 피타고라스학파였다. 그는 피타고라스 정리를 응용해 행성의 궤도가 원이 아니라 타원이라는 것을 증명했다.
근대 수학에서는 피타고라스 정리가 발전의 초석이 된다. 17세기 프랑스 수학자 프랑수아 비에트가 π값을 구할 때 사용한 ‘비에트의 곱’에는 피타고라스 정리를 기반으로 한 2제곱의 규칙적인 연속성이 나타난다. 뉴턴과 라이프니츠는 다양한 곡선의 길이와 넓이를 구할 수 있는 미분과 적분을 발명하면서 피타고라스 정리를 이용했다. 데카르트 역시 해석기하학을 창안하면서 2차원이나 3차원을 넘어 더 높은 차원의 공간을 표현하는 데 피타고라스 정리를 동원했다.
현대의 피타고라스 정리는 수학을 넘어 천체 물리학으로 확장되고 있다. 아인슈타인의 명작 E=mc2은 피타고라스의 항등식에서 나온 것이다. 아인슈타인이 뉴턴의 고전물리학을 허물고 3차원 공간을 뛰어넘어 공간과 시간을 하나로 인식하는 관점에 따라 4차원 우주를 그려내는 과정에서 피타고라스 정리의 발자취를 엿볼 수 있다. 11차원의 우주에서 진동하는 끈들로 우주의 모든 현상을 설명하고 있는 최근의 ‘끈이론’ 역시 마찬가지다. 숫자의 마법으로 우주를 쳐다보았던 피타고라스가 4?5차원은 물론 10차원 이상의 영역까지 파고드는 후세 수학자들을 만난다면 아주 흐뭇해 할 것이다.

페르마의 정리 증명되었지만, 피타고라스 정리는 현재진행형…
지금까지 피타고라스 정리가 참인지를 증명한 방법은 수백 가지가 넘고, 여전히 새로운 증명 방법이 나오고 있다. 왜 이미 증명된 정리를 계속해서 증명하려고 할까? 너무도 단순해 누구나 쉽게 이해할 수 있고, 수학의 모든 분야에서 가장 자주 사용되는 정리이기 때문일 것이다.
“xn+yn=zn에서 n이 3 이상의 정수일 때 이 방정식을 만족하는 x, y, z는 없다”는 ‘페르마의 마지막 정리’도 피타고라스 정리에서 비롯되었다. 프랑스 수학자 페르마는 피타고라스 정리를 보고 n이 2보다 클 때도 성립하는지 호기심이 생겨 자신만의 정리를 만들어 냈다. 이 정리는 1993년 증명될 때까지 무려 350년 동안 수학자들이 애를 태웠다.
수학 공식을 모아 놓은 책을 한번 펼쳐보라. 어떤 수식에서든 x2+y2의 형태를 쉽게 찾을 수 있다. 이런 식을 발견한다면 그것이 피타고라스 정리의 유산이라는 것을 잊지 말자.

저 : 엘리 마오

미국 시카고 로욜라대학교에서 수학사를 가르치고 있다. 응용수학, 수학교육, 수학사에 관한 50여 편의 논문을 발표했고, 여러 권의 책을 프린스턴 대학교 출판부에서 출간했다. 국내에 소개된 저서로는 《사인 코사인의 즐거움》, 《오일러가 사랑한 수 e》, 《무한 그리고 그 너머》가 있다

 편 : 이동흔

10여 년 수학 교사 생활을 과감하게 접고, 다문화 교육학 박사과정에 진학해 수학을 사회 문화적 현상에 접목시키는 방안을 찾고 있다. 누구나 수학만 잘 배우면 합리적이고 논리적이며 비판적인 사고능력을 갖춰 훌륭한 사회인이 되리라는 소신에 따라 학생들을 가르쳐 왔다. 더 나아가 이성을 넘어 감성을, 그리고 직관을 살리는 수학적 사고의 길을 여는 새로운 수학교육 모델이 가능하다고 믿고 있다. 국내에서 규모가 가장 큰 수학교사 단체인 (사) 전국수학교사모임 회장을 맡아 6년 동안 이 모임을 이끌었고, 세계수학자대회 조직위원, 수학대중화사업단 연구원 등을 역임했다. 현재 대한수학교육학회 이사, 세계수학교육자모임 한국위원회 위원이며 하이퍼메타인지연구소를 설립해 운영하고 있다.

 역 : 전남식

언론 현장에서 30년 넘게 활동한 저널리스트이다. 서울대학교에서 언어학(학사)과 정치학(석사)을, 경희대학교에서 언론학(박사)을 전공했다. 한 우물을 파지 못하고 이곳저곳 기웃거리듯 공부한 터라 종종 내공의 한계를 느끼지만 잡다한 지식을 꽤 갖추었다고 자부한다. 언론 현업을 떠난 뒤에는 역사에 푹 빠져 한국사와 세계사, 문명발달사, 문화사, 그리고 빅히스토리까지 역사책이라면 손에 잡히는 대로 읽고 있다. 경향신문 정치·사회·경제부 기자를 거쳐 경제부장, 편집국 부국장, 논설위원, 출판본부장을 역임했다. 지은 책으로는 《대통령과 언론통제》, 《현대사회와 언론》(공저)이 있다.