수학을 배워서 어디에 쓰지? - 처음 만나는 수학의 역사 대수편 -

“‘수’와 인류는 공진화(共進化)해 왔다!”
수의 탄생과 진화의 역사로 살펴 보는 수학의 쓸모

가장 효율적이고 아름다운 인류 지성의 결정체, 수학.
수학의 언어인 수는 어떻게 문명을 진화시켰는가?
수의 역사가 알려 주는 수학의 본질!

“수학의 기본이라고 할 수 있는 수의 역사에 관한 ‘맥락’을 짚고 있는 책이다. 인류의 문명이 발전한 과정을 이해하고 싶다면 이 책을 반드시 읽기 바란다.” _이광연(한서대 교육대학원 교수, 『수학, 인문으로 수를 읽다』 저자)
“수학이 우리의 일상 깊은 곳으로 들어오는 것에 대비해서 수의 개념을 이해하기 위해 꼭 읽어야 할 책입니다.” _서일홍(국제전기전자공학회 석학회원, 한국공학한림원 정회원)
“단순히 수학을 계산하기보다는 그 과정을 깊이 있게 이해하고 싶은 사람들에게 더욱 이 책을 추천한다.” _신정훈(해태제과 대표이사)
“수학보다 중요한 것은 수학을 이루는 수의 개념을 명확히 아는 것이다. 그런 면에서 수의 역사를 다룬 이 책은 수학의 본질을 제대로 파악하였다.” _권지은(하나고등학교 수학 교사)

아침에 눈 뜨자마자 보는 시계, 출퇴근 준비를 위해 보는 일기예보, 버스와 지하철의 노선 번호, 점심 메뉴의 가격표, 개수를 말할 때 쓰는 기수(基數), 우편물이나 택배를 보낼 때 쓰는 주소와 우편번호 등, 우리가 의식하고 보진 않지만 우리 주변에는 ‘수’로 이뤄진 것들투성이다. 수는 언제부터 우리가 ‘수’라고 인식하지 못할 만큼 자연스럽게 우리의 일상에 녹아들었을까? 그리고 우리는 왜 수를 다루는 학문인 수학은 그렇게 어려워하는 것일까?
역사적으로 보면 수는 우리를 ‘귀찮게 하기 위해’ 태어난 것이 아니라, 철저히 ‘생존’과 ‘필요’, ‘쓸모’에 의해 만들어졌다. 『수학을 배워서 어디에 쓰지?』는 이런 수의 역사에 집중하여 사람들에게 필요한 것이 무엇인지 설명해 준다. 자연수, 허수, 무리수, 지수, 로그 등 수의 탄생 배경을 소개하면서 각각의 수가 필요한 이유를 보여 주고, 발전 과정을 소개하면서 그 수가 어떤 의미를 갖는지 알려 준다. 두 자릿수의 연산, 지수와 로그의 사용, 허수의 활용 등의 과정을 통해 수를 이용해서 연산하는 것을 수학이라고 정의하고, 수학이야말로 일상의 온갖 귀찮음을 해결하기 위한 효과적인 수단임을 설명한다. 또 다양한 연산 과정을 보여 주면서 수의 의미가 갖는 중요성을 강조하고, 현대의 수의 쓸모를 보여 주면서 일상에 스며든 수의 면면을 볼 수 있게 해 준다.

“수학 저리 가!”, “수학? 안물안궁!”
세상 쉽고 재미있는 진짜 수학 이야기!

많은 사람들이 수학을 어려워하고, 배워도 쓸모없는 학문이라고 생각한다. 다른 학문보다 유난히 수학을 어려워하는 이유는 무엇일까? 왜 수학은 쓸모없다고 생각하는 것일까? 이런 편견에는 수학이 일상에 쓰이지 않고 어려운 문제 풀이로만 활용된다는 것이 큰 영향을 미친다. 어려운 문제 풀이로 성적을 매기는 것에 집중하니 개념을 명확히 알고 있는지를 따질 여유를 갖지 못한다. 따라서 대부분은 명확한 개념은 모른 채 모호한 상태에서 문제를 풀게 되고, 개념이 확실하게 잡혀 있지 않기 때문에 수학을 어렵게 느끼는 것이다.
그러나 사실 수학의 근본은 이런 어려운 문제 풀이에 있지 않다. 일상에서 접하는 다양한 문제들을 해결하는 것에 그 근본을 두고 있다. 내가 가진 양을 간편하게 기록하기 위해 수를 발명했고, 새로 생기거나 없어진 양을 표시하기 위해 수학을 발명했다. 비단 자연수에 한정되는 것이 아니다. 나누기 위한 분수와 작은 수를 위한 소수, 너무 작거나 큰 수를 표시하기 귀찮아 만든 지수와 지수의 연산을 쉽게 하기 위한 로그까지, 모든 수는 필요에 의해 만들어졌으며 수학은 이 수를 더 잘 활용하기 위해 만든 학문일 뿐이다.
사실 수의 개념을 명확히 한다면 수학은 어렵지 않다. 저자는 이 점에 집중했다. 학생들을 가르치면서 수학을 어려워하는 이유를 파악했고, 어떻게 하면 쉽게 가르칠 수 있는지 생각했다. 그 결과 수학을 이루는 기본 단위인 수의 개념을 명확히 알기 위해 수의 역사를 살펴봤다. 수의 탄생과 진화를 살펴보고, 현재의 쓰임을 설명하며 수가 갖는 의미를 명확히 보여 준다. 그리고 수의 의미를 활용한 수학이 왜 우리에게 필요한지를 설명한다.

수를 모르면 수학을 알 수 없다!
수의 개념을 명확히 함으로써 수학의 본질을 깨닫는다!

수학은 수로 이루어진 학문이다. 국어로 따지면 자음과 모음에 해당하는 것이 수인 것이다. 자음과 모음을 모르고 국어를 배울 수 없듯, 수를 제대로 모르면 수학을 정확히 알 수 없다. 또한 ㄱ, ㄴ, ㄷ, …, ㅎ과 ㅏ, ㅑ, ㅓ, …, ㅣ가 있는 걸 아는 것이 아무 의미가 없듯, 각각이 어떤 역할과 의미를 갖는지를 아는 것이 중요하다.
‘없음’을 의미하는 0을 예로 들어 보자. 문명의 초기에, ‘없음’은 빈칸이었다. 이후 큰 수를 나타내는 과정에서 빈칸이 주는 혼란을 피하기 위해 0이라는 ‘표기법’을 도입했다. 단순한 표기였던 0은 연산에 쓰이면서 수로 받아들여졌다. 0이 표기법에서 수로 변하면서 0의 ‘없음’이라는 성질은 ‘시작’으로 바뀌어 활용되었고, 없음의 뜻은 방정식을 해결하는 데 쓰이게 된다. 여기서 끝날 줄 알았던 0은 음수를 만나 한 번 더 변화를 겪는다. 0보다 큰 자연수와 있을 때는 ‘수의 시작’이었던 0이 0보다 작은 수와 만나 하나의 ‘기준’이 된 것이다. 현재 0은 남은 게 없을 때, 0시부터 시작하는 하루를 표시할 때, 이전과 비교하여 수치의 변화를 살필 때 등 세 가지 의미가 모두 사용되고 있다.
지수도 마찬가지이다. 지수는 ‘같은 수가 몇 번 곱해졌는지를 보여 주는 수’이다. 즉, 큰 수를 표기하기 위해 만들게 된 것이다. 그런데 지수를 사용하다 보니 독특한 성질이 발견되었고, 이에 따라 지수의 정의는 확장된다. 음수와 유리수가 지수 자리에 오면서 지수는 단지 큰 수뿐만이 아니라 작은 수와 무리수를 나타낼 때에도 사용하게 된 것이다. 그뿐만이 아니다. 지수의 정의인 ‘곱하는 횟수’를 활용하면 함수에 지수를 도입해 ‘점진적으로 증가’하는 경향이 아닌 ‘급격하게 증가’하는 경향을 해석할 수 있다. 이렇듯 지수라는 수의 정의를 명확히 아는 것만으로도 수학을 활용해 다양한 현상을 해석할 수 있게 된다.
저자의 풍부한 수학 교육 경험과 인류사에 대한 해박한 지식이 돋보이는 이 책 『수학을 배워서 어디에 쓰지?』는 우리가 갖고 있는 수학에 대한 편견을 지워 주며, 수가 우리 일상의 얼마나 많은 부분을 차지하고 있는지 알려 준다. 수의 탄생과 진화 과정을 보여 주면서 여러 가지 수의 개념을 명확히 알게 하고, 어떤 이유로 우리가 수를 다루는 학문인 수학을 배우고 있는지 알 수 있다.
수학은 괴짜들의 자기만족으로 만들어진 것이 아니다. 인류가 필요에 의해 만들어 온 가장 효율적이고 아름다운 철학의 결정체이다. 이 책은 교양으로서, 수학 공부의 마중물로서 반드시 읽어야 할 책이 될 것이다.

이규영
인천에서 태어나 제물포중학교와 인천고등학교를 수석으로 졸업했다. 서울대학교 경영학과를 졸업하고 동 대학원에서 계량경영학과 통계학, 마케팅을 공부했다. LG경제연구원에서 증권, IT, 유통, 교육 분야를 컨설팅했고, 이후 게임, 커뮤니티, 모바일 콘텐츠, 보안 솔루션 등 다양한 분야의 사업을 경험했다. 현재 삼성리더십센터에서 ESG 대응 전략과 미래사업전략 등을 컨설팅하고 있다. 동시에 뇌과학, 수학, 생물학, 물리학 분야를 깊이 있게 공부하고 있으며, 『네 탓이 아니라 뇌 탓이야!』 『중학수학 총정리, 한권으로 끝내기』 등의 책을 썼다.

추천사 “인류의 문명은 수와 함께 진화했다.”
서문

Chapter 1. 양을 보여 주다
 양에서 양으로의 전달
 셀 수 있는 양의 표식
 셀 수 없는 양의 표식
 일정한 기준으로 이뤄진 표식의 통일
 발전하는 표식

Chapter 2. 양을 묶다
 메소포타미아의 점토 표식
 묶거나 뭉쳐서 만든 더 큰 양의 표식
60진법과 새로운 표식
 크기와 분리하여 양을 표시하기
 그림 표식의 탄생

Chapter 3. 수를 쓰다
 실물 표식에서 그림 표식으로의 전환
 이집트 숫자
 로마 숫자
 이집트 신관숫자와 고대 그리스 숫자
 바빌로니아의 새로운 기수법
 위치로 결정되는 숫자의 양
 묶음과 진법의 차이
 마야의 20진법
 중국의 10진법
 인도-아라비아의 10진법

Chapter 4. 수를 말하다
 자주 쓰는 말은 규칙을 따르지 않는다
 수를 말하는 규칙
 중국어로 수를 말하는 규칙
 한국어로 수를 말하는 규칙
 영어로 수를 말하는 규칙
 프랑어로 수를 말하는 규칙
 수를 말하는 규칙 정리

Chapter 5. 수를 셈하다
 덧셈에 관하여
 뺄셈에 관하여
 뺄셈을 쉽게 하는 아이디어
 곱셈에 관하여
 묶음과 진법을 이용한 곱셈 방식
 교환법칙을 이용한 곱셈 방식
 곱셈표를 이용한 곱셈 방식
 곱셈을 쉽게 하는 아이디어
 덧셈과 곱셈의 검산
 나눗셈에 관하여
10진법을 이용한 나눗셈 알고리즘

Chapter 6. 하나를 자르다
 문명 초기의 분수 표기법
 이집트 분수 표기법
 분자가 1이 아닌 분수를 표기하는 법
 린드 파피루스의 분수 변환표
 분수의 계산
 분수의 덧셈
 중국의 분수
 최소공배수를 이용한 분수의 덧셈
 분수의 곱셈
 분수의 나눗셈
 피보나치의 단위분수 변환
 이집트 문명의 최적 알고리즘

Chapter 7. 수를 비교하다
 탈레스와 피라미드
 유클리드의 비와 비례
 피타고라스의 8음계
 비 되돌리기
 비율의 대표선수, 확률과 백분율
 비례배분

Chapter 8. 소수를 보다
 자명약수와 고유약수
 완전수, 과잉수, 부족수
 약수에서 소수로
 소수의 빈도와 무한성
 유클리드에서 가우스까지 소수에 대한 연구
1의 소수성

Chapter 9. 없음을 보다
 표현하지 않은 ‘없음’
없음을 뜻하는 기호
 없음에서 시작으로
 없음이 아닌 ‘0개’
0의 계산
 아랍과 유럽의 0
수학에 들어온 0

Chapter 10. 음수를 보다
 음수에 대한 말, 말, 말
 음수에 대한 최초의 기록
 음수를 이해하려고 노력한 수학자들
 음수의 덧셈과 뺄셈
 셈돌을 이용한 음수의 덧셈과 뺄셈
 정수
 유리수
0을 기준점으로 만든 음수

Chapter 11. 미지수를 보다
 문자 없이 미지수 구하기
 최초의 미지수, 아하
 미지수의 일반적인 해법을 선보인 알콰리즈미
 연산의 기호화와 미지수의 문자화
 비에트, 기지수를 문자화하다
 등식의 성질
 방정과 방정식
 정사각형의 면적을 이용한 이차방정식의 해법
 인수분해를 이용한 이차방정식의 해법
 삼차방정식과 사차방정식

Chapter 12. 유리수의 빈틈을 보다
 정사각형의 대각선의 길이를 구한 바빌로니아 문명
 바빌로니아 문명의 발견과 피타고라스 정리
 피타고라스의 침묵
‘수’의 자격을 잃은 셀 수 없는 양
 다시 수가 된 셀 수 없는 양
 유리수와 무리수의 농도 차이

Chapter 13. 수의 차원을 넓히다
 모든 수가 상상의 수다
 제곱해서 음수가 되는 수를 최초로 인정한 카르다노
 최초로 음수의 제곱근을 계산한 봄벨리
 음수의 제곱근을 기호화한 오일러
i는 정말 실수가 아닐까?
허수는 어디에 있을까?
베셀의 곱셈 원리의 적용
 실수 함수와 복소 함수
 허수 시간

Chapter 14. 소수를 보다
 바빌로니아 문명의 소수표기법
10진소수법을 만든 시몬 스테빈
 분수의 분모를 10의 거듭제곱 꼴로 바꾸는 법
 소수표기법
 유한소수와 무한소수, 그리고 무리수
1=0.999…
소수의 가치

Chapter 15. 수를 만들다
 함수(函數)라는 말의 어원
 함수의 흔적
 함수의 수식화
 함수의 시각화
 함수의 정의
 그래서 잃은 것

Chapter 16. 지수를 보다
 지수의 개념
 지수의 어원
 지수 표기법
 지수의 연산
 유리수 지수
 지수함수의 개형
 지수함수의 쓸모

Chapter 17. 로그를 보다
 로그의 뜻과 어원
 폭풍우가 맺어 준 인연
 브리그스의 상용로그
 로그자
 로그의 기호화
 로그값이 반드시 존재하기 위한 조건
 로그함수의 가치

 후기
Note
참고문헌