수학을 못한다는 착각

아마존 수학 베스트셀러

전 세계 10개 언어 판권 계약

유명 수학자 다수 추천

“이 책을 읽으면서 많은 독자의 수학 치유가 이루어지길 바란다.”

― 《수학이 필요한 순간》 저자 김민형 교수

“수학이 천재들의 전유물이라고?”

편견과 심리적 장벽을 넘어 수학의 본질을 새롭게 알게 해주는 책

아인슈타인은 조언을 구하는 고등학생에게 이렇게 말했다고 한다. “수학이 어렵다는 걱정은 하지 마. 장담컨대 수학은 내가 훨씬 더 어렵거든.”

400년 전 당대 최고의 수학자였던 르네 데카르트는 자전적 저서 《방법서설》에 이렇게 요약되는 글을 썼다고 한다. “내가 남들보다 더 똑똑한 게 아니다. 그저 남보다 더 나은 사람이 될 수 있는 마법 같은 방법을 발견할 기회가 있었을 뿐이다.”

믿어지는가? 어쩌면 누구보다 똑똑하다고 평가받았던 이 두 사람이 우리를 놀리는 건 아닐까?

이 책 《수학을 못한다는 착각》을 쓴 프랑스 수학자 다비드 베시는 이들의 말을 이해하려면 우선 수학에 대한 세 가지 잘못된 믿음을 버려야 한다고 말한다. 첫째, 수학을 하려면 논리적 사고가 필요하다는 믿음. 둘째, 우리 중 일부만 선천적으로 숫자가 쉽거나 기하학적 직관에 뛰어나다는 믿음. 셋째, 위대한 수학자들은 우리와 완전히 다른 뇌를 장착하고 태어난다는 믿음. 그리고 이에 대해 저자는 이렇게 반박한다. 사실 수학자들은 논리적으로 생각하지 않으며, 그들의 능력은 논리가 아니라 직관이고, 그 직관은 누구나 자연스럽게 부여받은 능력이라고.

‘수포자’라는 말이 아무렇지 않게 쓰이고 입시 준비에만 치우쳐 수학 지능을 판단하는 요즘, 이 책은 수학적 재능이 절대로 천재들만 타고나는 것이 아니며 진짜 수학 또한 다른 곳에 있다고 말한다. 그리고 우리가 가진 생각의 힘을 조금만 키우면 수학을 쉽게 즐길 수 있다고 조언한다.

저자는 우리가 학교에 들어가기 전에 경험했던 수학을 떠올려보자고 한다. 처음 부모님과 했던 모양 맞추기 놀이 같은 것을 예로 들며 수학적 사고가 어떻게 이루어졌는지, 그 과정에서 우리가 어떻게 생각의 기술을 길러냈는지 말이다. 특히 수학에서는 논리와 암기 대신 직관과 상상력, 호기심 등이 더 크게 작용한다는 사실을 보여준다.

이 책은 우리 교육이 만든 편견에 가려진 수학의 매력을 저자 자신의 경험담과 위대한 수학자들의 이야기를 버무려 재미있고 친절하게 서술한다. 아마존의 한 독자는 이 책을 고등학교 때 읽었더라면 좋았을 거라고 아쉬움을 표하기도 했다. 우리 스스로 세운 수학에 대한 심리적 장벽을 무너뜨려주는 이 책을 통해 수학의 본질을 새롭게 깨우치고 진짜 수학에 흠뻑 빠져드는 시간을 누리길 바란다.

논리와 교과서의 ‘공식 수학’에서

직관과 상상력의 ‘비공식 수학’으로!

위대한 수학자들이 느끼고 이해하는 진짜 수학에 관하여

“진짜 수학은 우리 주변 세계에 대한 직관을 넓혀주는 비공식 수학이다.”(342쪽)

저자에 따르면 이 세상엔 두 가지 수학이 있다. 교과서에 나오는 공식 수학과 수학적 직관이라고 일컫는 비공식 수학. 수학자라면 서로 다른 두 종류의 수학이 존재한다는 사실을 인정할 것이다. 그리고 그들은 정신적 표상이나 추상적 감각, 시각적 감각으로 이루어진 비공식 수학을 통해 커다란 즐거움을 만끽한다.

아인슈타인은 자신의 발견을 두고 직관의 중요성을 즐겨 이야기했다. 대체로 수학 하면 우리는 논리적 사고와 공식 암기를 떠올리지만, 이 책은 진짜 수학이란 주로 직관, 상상력, 호기심으로 이루어진다고 강조한다. 그래서 저자는 수학은 무엇보다 내면의 도구라고 말한다. 연구 논문을 읽을 때 ‘행간의 생각’에 집중한다고 말한 윌리엄 서스턴, 연구자의 창의성과 상상력은 ‘사물의 목소리에 귀 기울이는 주의력’에서 비롯된다고 말한 알렉산더 그로텐디크, 모든 것을 자기 머릿속에서 재구성하는 걸 좋아했던 르네 데카르트. 수학자들은 공식 수학만으로는 모든 이야기를 다 담아낼 수 없다는 걸 잘 안다. 수학자들에게 직관은 어떤 공적 결과물보다 훨씬 더 중요한 것이다. 그래서 그들이 매일 하는 일은 직관을 더 풍부하게, 더 명확하게, 더 강력하게 키우는 것이다. 이 책을 따라가다 보면 수학자들이 어떤 방식으로 수학을 다루었는지 알 수 있고 그 생각의 기술은 우리와도 무관하지 않음을 알게 된다.

수학을 이해하고 싶은 사람에게 전하는 이 책의 핵심 조언

“그 대상이 정말로 눈앞에 있는 것처럼 상상하라”

“수학의 진정한 즐거움은 어느 날 아침 문득 이전에는 볼 수 없었던 별이 머릿속에 보인다는 사실을 깨닫는 것이다.”(121쪽)

오래도록 저자는 자신의 머릿속 ‘보이지 않는 동작’과 수학을 잘하는 것 사이의 관계를 잘 알지 못했다고 말한다. 그 동작은 그저 자신이 익혀온 습관, 즉 상상력을 사용하는 방법일 뿐이었기 때문이다. 예를 들면 눈을 감고 방 안을 돌아다니며 가구의 배치를 기억하는 놀이 같은 것이었다. 그래서 저자는 수학에 필요한 ‘보는 법’에 관한 이야기를 풀어낸다.

저자는 우리가 이미 견고한 수학적 직관을 쌓아왔으며 천재들의 전유물로 여겨졌던 수학적 발상을 완벽하게 흡수했다고 말한다. 몇 가지 생각의 힘, 즉 놀라운 추상화 능력, 굉장한 추론 능력, 대단한 직관, 사물을 상상하는 능력 등을 언급하며 수학을 잘하는 데 필요한 모든 지적 능력은 누구나 갖추고 있다는 것이다. 특히 상상력을 올바르게 발휘하면 수학적 개념을 직관적으로 이해하고 익숙하게 받아들일 능력이 생기며, 자연스럽게 스며든 그 개념은 우리 몸의 일부처럼 활용된다고 말한다. 그러면서 누구에게나 세상을 바라보고 생각하는 방식을 끊임없이 수정하고 매일 자신만의 지능을 구축할 자유가 있다고 믿는다.

또 위대한 발견자들은 뭔가를 분명히 알 때까지 올바른 정신적 이미지, 올바른 시각화 방법을 계속 찾는다는 사실을 알려준다. 뭔가를 명확하게 보려면 가능한 정신적 표상을 먼저 구축해야 큰 노력 없이 곧바로 이해할 수 있다. 너무 쉬운 예지만, 우리가 ‘원’이라는 것에 대한 충분한 정신적 표상을 구축한 것처럼 말이다. 다만 그 표상을 구축하는 데는 생각보다 오랜 시간이 들 수 있고, 불확실성과 시행착오, 처음부터 다시 시작해야 하는 문제를 극복하는 노력이 필요하다.

하지만 진정한 수학적 이해란 바로 이런 과정일 것이다. 공식적 정의를 그저 암기하는 게 아니라 올바른 정신적 표상을 스스로 만들어 그 정의를 직관적인 것으로 바꾸고, 그 정의가 실제로 말하는 바를 직접 ‘체감’하는 것. 그래서 그로텐디크는 머릿속에서 올바른 그림을 그리지 못하면 가장 간단한 수학책도 읽을 수 없다고 말했다. 요컨대 수학을 배운다는 것은 ‘보는 법’을 배우는 것이다.

그동안 수학을 못한다고 착각하고 움츠러들었다면, 이제는 수학에 필요한 이런 생각의 힘을 쌓는 일에 집중해보자. 저자는 생각의 힘을 잘 이용할 수 있다면 안심하라고 다독인다. 수학을 아주 잘할 수 있는 유전적 잠재력과 지적 능력이 있다는 뜻이기 때문이다. 그리고 생물학적 관점에서 볼 때 필요한 건 이뿐이고, 나머지 요소들은 유전적인 것이 아닌 그저 마음가짐에 달려 있다고 말한다. 성실과 인내, 열망, 용기 등등 말이다.

“수학은 배우는 게 아니라 경험하는 것”

수학을 할 때 벌어지는 경이롭고 환상적인 내적 여정

“나는 우리가 받는 교육에 근본적으로 다른 두 가지 방식이 있으며, 그 두 접근법은 서로 양립할 수 없다는 사실을 깨달았다.”(134쪽)

이 책에서 언급하는 ‘좋은’ 수학 선생님과 ‘나쁜’ 수학 선생님의 차이를 들어보자. 저자는 수학을 못하는 사람들은 자신이 원래 열등하다고 확신하며 너무 위축되어 있어서 정말 단순한 질문을 하는 것조차 주저한다고 말한다. 그러면서 형식적 공식을 알아야만 수학을 잘할 수 있다는 환상을 심어주는 선생님들도 여기에 책임이 있다고 이야기한다.

토스터를 조립하는 문제를 예를 들어보자. ‘나쁜’ 선생님은 토스터를 조립하는 198가지 단계를 읊조리며 그게 끝인 것처럼 여긴다. ‘좋은’ 선생님은 토스터가 무엇인지 설명하려고 최선을 다한다. 그리고 끊임없이 학생들의 눈을 바라본다. 학생들의 눈빛을 보면 토스터를 이해했는지 아닌지 알 수 있기 때문이다. 빵이 뭔지도 모르는 사람에게 토스터를 조립하는 198가지 단계를 강요하는 건 그야말로 가혹한 짓이라고 저자는 지적한다.

수학을 지식으로 대하는 것과 하나의 감각적 경험으로 받아들이는 것은 정반대의 사고방식을 요구한다. 저자는 수학을 지식으로 대한다면 수학을 이해하는 즐거움을 포기한다는 의미라고 말한다. 수학을 이해하는 과정에서 작용하는 직관, 상상력, 호기심, 인내심 등이 만들어내는 경이롭고 환상적인 내적 여정을 경험하지 못한다면 수학은 우리에게서 영원히 멀어질 것이다. 저자는 또한 수학적 창의성을 위해 ‘어린아이처럼’ 사고하고, ‘바보처럼’ 보이면서, 두려움에 맞서고, 틀리기를 기꺼이 즐기라는 조언도 덧붙인다.

이처럼 이 책은 수학을 배우는 것이 아니라 경험하는 것이라고 강조한다. 우리보다 먼저 수학의 매력에 빠진 이 시대 수학자들이 이 책에 공감하며 기꺼이 추천한 이유일 것이다.

01 세 가지 비밀

02 숟가락의 올바른 쪽

03 생각의 힘

04 진짜 마법

05 보이지 않는 동작

06 수학책은 읽는 게 아니야

07 어린아이처럼

08 촉각 이론

09 여기서 뭔가 일어나고 있다

10 보는 기술

11 공과 방망이

12 요령은 없다

13 바보처럼 보이기

14 무술

15 경외감과 마법

16 극도의 명확성

17 우주를 통제한다는 것

18 방 안의 코끼리

19 추상적이고 모호한 세계

20 수학적 깨달음

에필로그

참고 자료 및 읽을거리

감사의 글