눈이 트이는 수학 센스

‘수’의 세계와 ‘도형’의 세계는

서로 이어져 있다

‘수학 센스’란 과연 무엇일까? 이 질문에 많은 이들이 ‘계산을 잘하는 능력’, ‘문제를 신속하고 정확하게 푸는 능력’이라고 답할 것이다. 하지만 ‘수학 센스’와 ‘계산력’은 엄연히 다르다. 실제로 수학 전문가 중에는 계산이 느리거나 아주 간단한 연산도 실수하는 이들이 존재하니 말이다.

이 책에서 다루는 ‘수학 센스’란 쉽게 말해 ‘수학을 제대로 갖고 놀 줄 아는 감각’을 말한다. 능동적으로 질문을 던지고 이리저리 뒤집어보고 탐구하며 수와 도형에 숨어 있는 질서를 깊이 알아가는 능력, 이것이 바로 수학 센스이자 진정한 ‘수학하는 힘’이다. 수학하는 힘이 잘 단련되어 있다면, 수학의 큰 두 가지 축이라 할 수 있는 ‘수’와 ‘도형’이 사실은 별개가 아니라 서로 긴밀하게 연결되어 있다는 사실을 터득하게 된다. 예를 들어 ‘피타고라스의 정리’에서는 ‘a의 제곱 더하기 b의 제곱은 c의 제곱’을 무작정 외우는 데 그치지 않고 더 나아가 ‘제곱수’의 특징을 발견할 수 있다. 또는 분수를 소수로 바꾸고 소수점 이하에 이어지는 숫자들을 도형으로 표현해보면, 거기서 놀라운 대칭성을 찾아낼 수도 있다. 이처럼 ‘수를 도형으로 인식하고 도형을 수로 인식하는 것’은 수학을 한 차원 더 깊이 이해하기 위한 기본 중의 기본이다.

중학교 기초 수학을 토대로

‘수학을 제대로 갖고 노는 감각’을 연마해보자!

이 지점에서 많은 이들이 의문을 품을 것이다. ‘수학 센스가 과연 쉽게 얻어질까? 수학 센스는 노력한다고 얻을 수 없는 ‘재능’의 영역이 아닐까?’라고 말이다. 하지만 이 책은 말한다. 수학 센스, 즉 수학하는 힘의 실마리는 누구나 배우는 중학교 수학 과정에 이미 가득 들어 있다고.

이 책은 크게 ‘수’, ‘수와 도형’, ‘도형’이라는 세 가지 테마로 나누어, 중학교 수학의 기초 지식을 100% 활용하며 수학 센스를 연마하는 공부법을 소개하고 있다. 1부 「‘수’에 대한 센스 연마하기」에서는 구구단과 소수와 제곱수를, 2부 「‘수’를 ‘도형’으로 파악하는 센스 연마하기」에서는 ‘피타고라스 정리’와 ‘분수와 소수’ 등을 중점적으로 다루었다. 그리고 3부 「‘도형’에 대한 센스 연마하기」에서는 정다면체와 다면체, 그리고 ‘평면 채우기 문제’를 중심으로 색다른 도형 공부법을 해설했다.

스스로 의문을 품고 깊이 탐구해가는 과정은 어떤 공부에서든 중요하지만, 특히 수학이라는 학문의 본질을 꿰뚫고 진정으로 수학을 즐기는 데에는 더욱 필수적이다. 주입식 또는 암기식으로만 배웠던 수학을 새로운 시각으로 다시금 접해보고 싶은 모든 이들에게, 이 책은 수학하는 힘을 기르고 수학과 신나게 놀 수 있도록 길을 제시하는 유용한 지침서가 되어줄 것이다.

지은이 : 하나키 료 

1981년 아이치현 오카자키시 출생. 기후대학교 교육학부 준교수. 와세다대학교 대학원 교육학연구과 수료, 이학박사. 와세다대학교 교육·종합과학학술원 조교, 나라교육대학교 준교수 등을 거쳐 현직에 이르렀다. 전공은 매듭 이론. 수학 관련 과학관 전시와 교원 양성 연구 등도 함께 진행하고 있다. 두 딸과 함께 여러 공원을 다니며 노는 것이 취미다. 놀이기구의 모양도 꼭 관찰한다. 과학 분야의 그림책에도 푹 빠져 있다.

옮긴이 : 김소영 

다른 나라 언어로 그려진 책의 재미를 한국의 독자에게도 전달하고자 하는 마음으로 번역을 시작했다. 저자의 색깔에 녹아든 번역을 추구한다. 다른 번역서로 《뇌가 편해지는 최고의 휴식법》, 《미국 주식 투자》, 《어차피 죽는다 어떻게 살 것인가》, 《셰익스피어 영감노트》, 《소크라테스는 왜 질문만 했을까》, 《기적의 피아니스트 교육법》 등이 있다.

머리말

제1부. ‘수’에 대한 센스 연마하기

제1장. 구구단을 탐구하며 수학 센스 연마하기

1.1 구구단 표 속에 숨어 있는 ‘대칭성’을 찾아라

1.2 구구단 표의 ‘단’에는 어떤 관계가 숨어 있을까?

1.3 ‘일의 자리의 규칙성’을 찾아라

1.4 구구단에 나오는 수

1.5 구구단에 나오는 숫자의 합 생각하기

1.6 구구단의 수를 모두 더하면?

1.7 구구단의 수를 부분적으로 더하기

제2장. 소수를 탐구하며 수학 센스 연마하기 〈1〉

2.1 소수란

2.2 ‘소수표’를 만들자

2.3 나열을 바꿔서 소수 다시 바라보기

2.4 디리클레 정리

2.5 1300 이하의 소수

제3장. 소수를 탐구하며 수학 센스 연마하기 〈2〉

3.1 쌍둥이 소수

3.2 회문 소수와 수소

3.3 레퓨닛 수

3.4 순수 소수

3.5 친근한 달력에서 소수 찾기

제4장. 제곱수를 탐구하며 수학 센스 연마하기

4.1 ‘수의 배열’ 탐구하기

4.2 ‘끝자리 수’가 변하지 않는 수는?

4.3 수를 나눠 더해보기

제5장. 3, 4, 5제곱수를 탐구하며 수학 센스 연마하기

5.1 세제곱수

5.2 네제곱수

5.3 다섯제곱수

제2부. ‘수’를 ‘도형’으로 파악하는 센스 연마하기

제6장. ‘피타고라스 정리’를 탐구하며 수학 센스 연마하기 - ‘거듭제곱수의 합’에서 나타나는 수의 세계

6.1 피타고라스 정리와 피타고라스 수

6.2 피타고라스 수의 ‘도형적’ 의미

6.3 페르마의 마지막 정리

6.4 제곱수의 합

6.5 세제곱수의 합

6.6 네제곱수의 합 - 오일러의 추론

6.7 거듭제곱수에 관한 미해결 문제

제7장. 분수를 소수로 나타내며 수학 센스 연마하기 - 그리고 ‘도형’으로 나타내보면……?

7.1 불규칙적으로 끝없이 이어지는 소수는 왜 나타나지 않을까?

7.2 손 계산을 통해 탐구하기

7.3 순환마디를 그림으로 나타내면……?

7.4 유한소수로 나타내는 분수

7.5 약분된 분수의 순환마디 특징은?

7.6 ‘바로 순환하는 분수’와 ‘바로 순환하지 않는 분수’

7.7 순환마디의 길이

7.8 거듭제곱수의 순환마디 길이

7.9 ‘나머지의 열’ 시각화하기

7.10 분수를 도식화하기

제8장. 수를 자유자재로 다루며 수학 센스 연마하기 - ‘회오리형’인가, ‘나무형’인가

8.1 더하는 과정 반복하기

8.2 세 자릿수에서는 어떻게 될까?

8.3 빼는 과정 반복하기

8.4 세 자릿수 뒤집어 빼기

8.5 세 자릿수의 각 숫자 서로 바꾸기

8.6 네 자릿수의 각 숫자를 서로 바꾸면……?

8.7 콜라츠 추측이란?

8.8 콜라츠 추측 탐구하기

제3부. ‘도형’에 대한 센스 연마하기

제9장. 정다면체를 탐구하며 수학 센스 연마하기

9.1 정다면체란?

9.2 정다면체는 오직 다섯 종류

9.3 첫 번째 조건에서 ‘정다각형’ 제외하기

9.4 두 번째 조건 ‘모든 꼭짓점에는 같은 수의 면이 모여 있다’ 제외하기

9.5 세 번째 조건 ‘오목한 부분이 없다’ 제외하기

9.6 정다면체의 ‘쌍대’란?

9.7 정다면체의 전개도

9.8 정다면체 속의 정다면체

9.9 아르키메데스의 입체도형

9.10 존슨 입체도형

제10장. 다면체를 탐구하며 수학 센스 연마하기

10.1 볼록 다면체의 개수

10.2 오일러의 다면체 공식

10.3 다면체 면의 내각 총합

10.4 다면체 꼭짓점의 부족도 합

10.5 ‘다면체의 전개도’에 관한 미해결 문제

10.6 ‘면의 내부’를 잘라내는 전개도

10.7 ‘정육면체의 면’을 잘라내는 전개도

10.8 ‘두 직육면체를 만들어내는 면’을 잘라내는 전개도

10.9 우리 주변의 다면체

제11장. ‘평면 채우기 문제’로 수학 센스 연마하기

11.1 삼각형으로 채우기

11.2 사각형으로 채우기

11.3 ‘정다각형 한 종류’로 채우기

11.4 여러 종류의 정다각형으로 채우기

11.5 오목다각형으로 채우기

11.6 오각형으로 채우기

11.7 주기성이 없는 평면 채우기

COLUMN

▶ 엑셀 프로그램으로 ‘순환마디의 길이’ 구하기

▶ 엑셀 프로그램으로 ‘카프리카 조작’ 실행하기

▶ 엑셀 프로그램으로 ‘콜라츠 추측’ 탐구하기

참고 문헌

맺음말

찾아보기